Bonjour,
1. Expression de l'aire
a) • Triangle AHE
AH = HE = x/2
Aire AHE = AH×HE / 2 = (x/2 × x/2)/2
Aire AHE = x²/4 × 1/2 = x²/8
• Trapèze HMDE
MD = MB = AB - AM = 8 - x
Aire HMDE = ((HE+MD)×HM) / 2
= ((x/2 + 8 - x)×x/2)/2
= ((x + 16 - 2x)/2 × x/2)/2
= ((16-x)/2 × x/2)/2
= ((16x - x²)/4)/2
= (16x - x²)/4 × 1/2
= (16x - x²)/8
= 2x - x²/8
• Carré MBCE
Aire MBCE = MB² = (8 - x)²
b) Polygone ABCDE
Aire ABCDE = Aire AHE + Aire HMDE + Aire MBCE = x²/8 + 2x - x²/8 + (8 - x)²
Aire ABCDE = 2x + (8 - x)²
Aire ABCDE = 2x + 64 - 16x + x²
Aire ABCDE = x² - 14x + 64
2. Variation de l'aire
a) x € [0;8] car M € [AB] or AB = 8 cm
b) f(x) = x² - 14x + 64
On a : a < 0, donc on a une courbe en U.
Extremum (alpha; bêta) :
• alpha = -b/2a = -(-14)/(2×1) = 14/2 = 7
• bêta = 7² - 14×7 + 64 = 15
Donc Point extremum (7;15).
f(0) = 64
f(8) = 8² - 14×8 + 64 = 16
Je te laisse le soin de faire le tableau de variation.
La valeur de l'aire minimale est de 15 cm².
