1)
a) (E₁) = x² - 8x + y² + 4y + 11 = 0
l'équation d'un cercle est de la forme
(x - a)² + (y - b)² = r²
(a;b) coordonnées du centre, r rayon.
on va mettre (E₁) sous cette forme
x² - 8x est le début du développement du carré (x - 4)²
x² - 8x = (x - 4)² - 16
de même y² + 4y = (y + 2)² - 4
(E₁) : (x - 4)² + (y +2)² -16 -4 + 11 = 0
(x - 4)² + (y +2)² = 9
équation du cercle de cente C(4;-2) et de rayon 3
b) le point A(1 ; 2) n'est pas sur le cercle
(1 - 4)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25
c'est le point A'(1; -2) qui est sur le cercle
(1 - 4)² + (2 - 2)² = (-3)² + 0 = 9
2)
a) (E₂) : x + 3y - 5 = 0
Un vecteur directeur d'une droite d'équation ax + by + c est u (−b ; a)
ici u(-3; 1)
b) B(2;1)
2 + 3(1) - 5 = 0
5 - 5 = 0 le point est bien sur la droite
3) tracer le cercle (tu as le centre et le rayon)
tracer la droite x + 3y - 5 = 0
on connaît les point B (2 ; 1)
second point : si y = 0 alors x = 5 F(5 ; 0)
la droite c'est BF
4) résoudre le système
(E₁) (x - 4)² + (y +2)² = 9
(E₂) x + 3y - 5 = 0
on tire x de (E₂) x = 5 - 3y
et on porte dans (E₁)
(5 - 3y - 4)² + (y + 2)² = 9
on trouve
10y² - 2y - 4 = 0 ∆ = 164 = 4*41
il y a deux solutions
y₁ = (1 + √41)/10 et y₂ = (1 - √41)/10
tu calcules les valeurs de x correspondantes et tu obtiens les coordonnées des points communs au cercle et à la droite.
