Réponse : Bonjour,
1) L'aire colorée [tex]\mathcal{A}[/tex] est la somme de l'aire [tex]\mathcal{A}_{AMEF}[/tex] du carré AMEF, et de l'aire [tex]\mathcal{A}_{MBH}[/tex], du triangle MBH.
Soit I le pied de la hauteur issue de H du triangle MBH. Puisque [HI] et [CB] sont perpendiculaires à [MB], alors [HI] et [CB] sont parallèles.
Puisque [tex]H \in [DC][/tex], alors la hauteur HI=CB=4.
Donc l'aire colorée est égale à:
[tex]\mathcal{A}=\mathcal{A}_{AMEF}+\mathcal{A}_{MBH}=x^{2}+\frac{MB \times HI}{2}=x^{2}+\frac{4(4-x)}{2}=x^{2}+2(4-x)=x^{2}-2x+8[/tex].
2) On calcule la fonction dérivée f'(x):
[tex]f'(x)=2x-2=2(x-1)[/tex].
On a la tableau de variations suivant:
x 0 1 4
x-1 - Ф +
f'(x) - Ф +
f(x) (décroissant) (croissant)
Donc pour x=1, f(x) est minimale, donc l'aire colorée est minimale pour AM=1.
3) L'aire du carré ABCD est [tex]4 \times 4=16[/tex]. Donc 40% de 16 vaut [tex]\frac{2}{5} \times 16=\frac{32}{5}[/tex].
D'après la question précédente, le minimum de f est f(1), donc pour tout [tex]x \in [0;4], f(x) \geq f(1)[/tex].
On calcule f(1):
[tex]f(1)=1^{2}-2 \times 1+8=1-2+8=7[/tex].
Donc pour tout [tex]x \in [0;4], f(x) \geq 7[/tex], et 7>[tex]\frac{32}{5}[/tex], donc pour tout [tex]x \in [0;4], f(x) \geq \frac{32}{5}[/tex].
Jessica a donc raison.