Bonjour,
U₀ = 1 et Un+1 = Un/3 - 2
1) U₁ = U₀/3 - 2 = 1/3 - 2 = -2/3
U₂ = U₁/3 - 2 = -2/9 - 2 = -20/9
U₂ - U₁ = -20/9 + 2/3 = -14/9
U₁ - U₀ = -2/3 - 1 = -5/3 ≠ U₂ - U₁ ⇒ (Un) n'est pas arithmétique
De même :
U₂/U₁ = (-20/9)/(-2/3) = 10/3
et U₁/U₀ = -2/3 ≠ U₂/U₁ ⇒ (Un) n'est pas géométrique
2) Vn = Un + 3
a) Vn+1 = Un+1 + 3
= (Un/3 - 2) + 3
= Un/3 + 1
= (Un + 3)/3
= Vn/3
⇒ (Vn) est géométrique de raison q = 1/3 et de premier terme V₀ = U₀ + 3 = 4
b) Vn = V₀ x qⁿ = 4 x (1/3)ⁿ = 4/3ⁿ
On en déduit :
Un = Vn - 3 = 4/3ⁿ - 3
3) lim Un en +∞ = lim (4/3ⁿ - 3) en +∞ = -3
4) a)
S₁ = V₀ + V₁ + .... + V₁₀
= 4 x [1/3₀ + 1/3¹ + .... 1/3¹⁰]
= 4 x [1 - (1/3)¹¹]/[1 - (1/3)]
= 4 x [1 - (1/3)¹¹]/[2/3]
= 6 x [1 - (1/3)¹¹] (≈ 6)
S₂ = U₀ + U₁ + .... + U₁₀
= (V₀ - 3) + (V₁ - 3) + .... + (V₁₀ - 3)
= S₁ - 11x3
= 6 x [1 - (1/3)¹¹] - 33 (≈ -27)
