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résolu

coucou j'espere que vous allez bien.J'ai un Dm a rendre le jeudi pouvez vous m'aidez svp
On considere la suite (Un) definie par U0=1 et Un+1=1/3Un-2
1) Montrer que cette suite n'est ni arithmetique ni geometrique
2)On pose Vn=Un+3
a) Montrer que (Vn) est geometrique. preciser sa raison et son premier terme
b)En deduire l'expression de Vn puis de Un en fonction de n
3)Calculer lim ntend sur +infinie Un
4)a) calculer S1=V0+...V10
b)En deduire S2=U0+...U10
merci beaucoup d'avance

RĂ©pondre :

SCOLADANVIZ

Bonjour,

U₀ = 1 et Un+1 = Un/3 - 2

1) U₁ = U₀/3 - 2 = 1/3 - 2 = -2/3

U₂ = U₁/3 - 2 = -2/9 - 2 = -20/9

U₂ - U₁ = -20/9 + 2/3 = -14/9

U₁ - U₀ = -2/3 - 1 = -5/3 ≠ U₂ - U₁ ⇒ (Un) n'est pas arithmĂ©tique

De mĂȘme :

U₂/U₁ = (-20/9)/(-2/3) = 10/3

et U₁/U₀ = -2/3 ≠ U₂/U₁ ⇒ (Un) n'est pas gĂ©omĂ©trique

2) Vn = Un + 3

a) Vn+1 = Un+1 + 3

= (Un/3 - 2) + 3

= Un/3 + 1

= (Un + 3)/3

= Vn/3

⇒ (Vn) est gĂ©omĂ©trique de raison q = 1/3 et de premier terme V₀ = U₀ + 3 = 4

b) Vn = V₀ x qⁿ = 4 x (1/3)ⁿ = 4/3ⁿ

On en déduit :

Un = Vn - 3 = 4/3ⁿ - 3

3) lim Un en +∞ = lim (4/3ⁿ - 3) en +∞ = -3

4) a)

S₁ = V₀ + V₁ + .... + V₁₀

= 4 x [1/3₀ + 1/3Âč + .... 1/3Âč⁰]

= 4 x [1 - (1/3)ÂčÂč]/[1 - (1/3)]

= 4 x [1 - (1/3)ÂčÂč]/[2/3]

= 6 x [1 - (1/3)ÂčÂč]      (≈ 6)

S₂ = U₀ + U₁ + .... + U₁₀

= (V₀ - 3)  + (V₁ - 3) + .... + (V₁₀ - 3)

= S₁ - 11x3

= 6 x [1 - (1/3)ÂčÂč] - 33  (≈ -27)

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