Bonjour,
1) Si (x - 1) divise P(x), alors P(x) = (x - 1)Q(x)
Donc P(x) = 0 a pour solution (x - 1) = 0, soit x = 1
Or P(1) = 6 ≠ 0 ⇒ P(x) n'est pas divisible par (x - 1)
2) P(x) + k = x³ + 4x² + 2x - 1 + k
P(1) = 6 + k
On veut : P(1) = 0 ⇒ k = -6
Soit : P(x) + k = x³ + 4x² + 2x - 7
(vérification : (x - 1)(x² + 5x + 7) = P(x))
On en déduit :
P(x) - 6 = (x - 1)(x² + 5x + 7)
⇔ P(x) = (x - 1)(x² + 5x + 7) + 6
Soit : Q(x) = x² + 5x + 7 et r = 6
3) ...
4) il manque le résultat de la 3) pour répondre avec la méthode proposée
a) P(x) = 5x⁴ - 3x³ + x² - 7x + 1
et ax² + bx + c = (x + 3)(x - 2) = x² + x - 6
Si U(x) est de degré 2, soit U(x) = Ax² + Bx + C :
(x² + x - 6)(Ax² + Bx + C)
= Ax⁴ + Bx³ + Cx² + Ax³ + Bx² + Cx - 6Ax² - 6Bx - 6C
= Ax⁴ + (B + A)x³ + (C + B - 6A)x² + (C - 6B)x - 6C
Par analogie des termes de même degré avec P(x) :
A = 5
A + B = -3 ⇒ B = -3 - A = -8
C + B - 6A = 1 ⇒ C = 1 - B + 6A = 1 + 8 + 30 = 39
C - 6B = -7 ce qui est n'est vérifié : 39 + 48 = 87 donc il faut enlever -(87 + 7)x = -94x
-6C = 1 ce qui n'est pas vérifié (-6C= -234) donc il faut ajouter 235
ce qui donne : U(x) = 5x² - 8x + 39
P(x) = (x² + x - 6)(5x² - 8x + 39) - 94x + 235
Soit V(x) = -94x + 235
Mais je ne sais pas si c'est ce qu'on te demande....
