Réponse : Bonjour,
Exercice 68
A) On calcule d'abord la fonction dérivée f':
[tex]f'(x)=2 \times 2x-4=4x-4[/tex].
Une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0:
[tex]y=f'(0)(x-0)+f(0)[/tex].
[tex]f'(0)=4 \times 0-4=-4\\f(0)=2 \times 0^{2}-4 \times 0+3=3[/tex].
Donc l'équation de T est:
[tex]y=f'(0)x+f(0)\\y=-4x+3[/tex].
Donc l'équation de la tangente T est y=-4x+3
B) Je vous laisse tracer à la calculatrice.
C) Pour étudier la position de f par rapport à T, il faut étudier la différence f(x)-(-4x+3).
On calcule d'abord la valeur de f(x)-(-4x+3):
[tex]f(x)-(-4x+3)=2x^{3}-4x+3-(-4x+3)=2x^{3}-4x+3+4x-3=2x^{3}[/tex].
Donc f(x)-(-4x+3) est du signe de [tex]2x^{3}[/tex] sur [tex]\mathbb{R}[/tex].
On a:
x -∞ 0 +∞
[tex]2x^{3}[/tex] - Ф +
On a donc que f(x)-(-4x+3) [tex]\leq 0[/tex] sur ]-∞;0], donc sur cet intervalle [tex]f(x) \leq -4x+3[/tex], donc sur ]-∞;0], la courbe C est en dessous de T.
Puis f(x)-(-4x+3) [tex]\geq 0[/tex] sur ]0;+∞], donc sur cet intervalle [tex]f(x) \geq -4x+3[/tex], donc sur ]0;+∞], la courbe C est au dessus de T.
Exercice 80
Si on pose [tex]f(x)=x^{2011}[/tex], alors:
[tex]\lim_{h \mapsto 0} \frac{(1+h)^{2011}-1}{h}=\lim_{h \mapsto 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}[/tex].
On reconnait donc le taux de variation de f au point d'abscisse 1, et donc:
[tex]\lim_{h \mapsto 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=f'(1)[/tex].
Il nous faut donc calculer la fonction dérivée f':
[tex]f'(x)=(x^{2011})'=2011x^{2011-1}=2011x^{2010}[/tex].
Et donc:
[tex]f'(1)=2011 \times 1^{2010}=2011[/tex].
Finalement:
[tex]\lim_{h \mapsto 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h \mapsto 0}\frac{(1+h)^{2011}-1}{h}=2011[/tex].
