Réponse :
U₀ = 1
Un+1 = Un - ln(1+Un) pour tout entier naturel n
1) calculer une valeur approchée à 10⁻³ près de U₂
U₁ = U₀ - ln(1+U₀) = 1 - ln(1+1) = 1 - ln(2) = 1 - 0.693 = 0.307
U₂ = U₁ - ln(1 + U₁) = 0.307 - ln(1.307) = 0.307 - 0.268 = 0.039
2) a) démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un ≥ 0
Initialisation : P(0) est vraie car U₀ = 1 ≥ 0
héridité : supposons que pour tout n P(n) est vraie ⇒ Un ≥ 0
et montrons que P(n+1) est vraie aussi
sachant que Un+1 = f(Un) ⇔ f(x) = x - ln(1 + x) ⇒ f est croissante sur [0 ; + ∞[
donc f(Un) ≥ f(0)
Un+1 = f(Un) ≥ f(0) = 0
Un+1 ≥ 0 donc P(n+1) est vraie
Conclusion : P(0) est vraie et P(n) est hériditère à partir du rang n = 0
Donc par récurrence P(n) est vraie pour tout entier n ≥ 0
b) démontrer que la suite (Un) est décroissante et en déduire que pour tout entier naturel n , Un ≤ 1
pour tout entier naturel n ≥ 0 Un+1 = Un - ln(1+Un)
Un+1 - Un = Un - ln(1+Un) - Un = - ln(1+Un)
or Un ≥ 0 ⇒ 1 + Un ≥ 1 ⇒ ln(1+Un) ≥ 0
donc Un+1 - Un = - ln(1+Un) ≤ 0 ⇒ Un+1 - Un ≤ 0 donc (Un) est décroissante
en déduire que pour tout n Un ≤ 1
puisque (Un) est décroissante : on a U₀ = 1 ; U₁ = 0.307 ; U₂ = 0.039
on en déduit que pour tout n ; Un ≤ 1
c) montrer que la suite (Un) est convergente
puisque la suite (Un) est décroissante et elle est minorée par la plus petite valeur qui est 0 donc la suite (Un) est convergente
3) en déduire la valeur de l
on a l = f(l) ⇔ l = l - ln(1+l) ⇔ ln(1+l) = 0 ⇔ ln(1+ l) = ln1 ⇒ 1 + l = 1 ⇒ l = 0
Explications étape par étape
