Réponse : [tex]f'(x)=2\sin(2x)-1[/tex].
On étudie le signe de f'(x).
On résout l'inéquation:
[tex]2\sin(2x)-1 \geq 0\\2\sin(2x) \geq 1\\\sin(2x) \geq \frac{1}{2}[/tex].
Sur l'intervalle [tex][-\pi;\pi][/tex], les solutions de l'inéquation [tex]\sin(x) \geq \frac{1}{2}[/tex], est l'intervalle [tex][\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}][/tex] ou l’intervalle [tex][-\frac{11\pi}{6};-\frac{7\pi}{6}][/tex], donc les solutions de l'inéquation [tex]\sin(2x) \geq \frac{1}{2}[/tex] sont:
[tex]\frac{\pi}{6} \leq 2x \leq \frac{5\pi}{6}\\\frac{\pi}{6} \times \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{5\pi}{6} \times \frac{1}{2}\\\frac{\pi}{12} \leq x \leq \frac{5\pi}{12}[/tex].
[tex]-\frac{11\pi}{6} \leq 2x \leq -\frac{7\pi}{6} \\-\frac{11\pi}{12} \leq x \leq -\frac{7\pi}{12} [/tex]
Donc [tex]f'(x) \geq 0[/tex], sur l'intervalle [tex][-\frac{11\pi}{12};-\frac{7\pi}{12}] \cup[\frac{\pi}{12};\frac{5\pi}{12}][/tex], et donc [tex]f'(x) \leq 0[/tex], sur l'intervalle [tex][-\pi ;-\frac{11\pi}{12}]\cup[-\frac{7\pi}{12};\frac{\pi}{12}] \cup [\frac{5\pi}{12};\pi][/tex].
f est donc croissante sur l'intervalle [tex][-\frac{11\pi}{12};-\frac{7\pi}{12}] \cup[\frac{\pi}{12};\frac{5\pi}{12}][/tex] , et décroissante sur l'intervalle [tex][-\pi ;-\frac{11\pi}{12}]\cup[-\frac{7\pi}{12};\frac{\pi}{12}] \cup [\frac{5\pi}{12};\pi][/tex].
On a donc le tableau suivant:
x -pi -11pi/12 -7pi/12 pi/12 5pi/12 pi
f'(x) - Ф + Ф - Ф + Ф -
f(x) (décroissant) (croissant) (décroissant) (croissant) (décroissant)
