1)
a) Le triangle est isocèle en A : AB = AC = 2y
BC = 2x
le périmètre est 2y + 2x il vaut 8 (cm)
2x + 2y = 8
x + y = 4 (1)
b) Soit H le pied de la hauteur issue de A. Le triangle est isocèle, H est le milieu de BC
le triangle AHB est rectangle en H
AH = 2 AB = y BH = x
Th de Pythagore
AB² = BH² + HA²
y² = x² + 2² (2)
on résout le système
x + y = 4 (1) et y² = x² + 2² (2)
(2) <=> y² - x² = 4
(2) (y - x)(y + x) = 4
on remplace x + y par 4
(2) devient (y - x)(4) = 4 soit y - x = 1
d'où y - x = 1 et y + x = 4
par addition m à m
2y = 5
y = 2,5 (cm)
et x = 1,5 (cm)
2) I est le milieu de [AH], (IE) est parallèle à HC
Les triangles AIE et AHC sont homothétiques, le rapport d'homothétie est AI / AH = 1/2
AE / AC = 1/2 et IE / HC = 1/2
AE = 2,5 / 2 = 1,25 (cm)
IE = 1,5 / 2 = 0,75 (cm)
