Réponse :
Un = n² - n
1) Utiliser une calculatrice pour obtenir
U₁₀² ; U₁₀⁴ ; U₁₀⁶ et U₁₀¹⁰
U₁₀² = (10²)² - 10² = 99 x 10²
U₁₀⁴ = (10⁴)² - 10⁴ = 9999 x 10⁴
U₁₀⁶ = (10⁶)² - 10⁶ = 999999 x 10⁶
U₁₀¹⁰ = (10¹⁰)² - 10¹⁰ = 9999999999 x 10¹⁰
2) soit f(x) = x² - x
montrer que f est croissante sur [1 ; + ∞[
calculons la dérivée de f ; f '(x) = 2 x - 1
x ∈ [1 ; + ∞[ ⇔ x ≥ 1 ⇔ 2 x ≥ 2 ⇔ 2 x - 1 ≥ 2 - 1 ⇔ 2 x - 1 ≥ 1
Donc 2 x - 1 > 0 ⇒ f (x) > 0 et f (x) ≥ 1 ⇒ f est croissante sur [1 ; + ∞[
3) a) en utilisant les résultats des questions précédentes, déterminer un rang au-delà duquel tous les termes Un, vérifient Un ≥ 10 000
pour le terme de rang n = 101 on U101 = 101² - 101 = 10201 - 101 = 10 100 ≥ 10 000
b) déterminer un rang au-delà duquel Un ≥ 10⁶
n² - n ≥ 10⁶ ⇔ n² - n - 10⁶ ≥ 0
Δ = 1 + 4 x 10⁶ = 4 000001 ⇒ √(4000001) = 2000
n = 1 + 2000)/2 ≈ 1001
Explications étape par étape
