Réponse :
Un nombre pair est un multiple de 2, et l'entier qui le suit directement est impair par définition.
Donc, tout entier n pair peut s'écrire sous la forme n = 2q, et tout entier n impair peut s'écrire sous la forme n = 2q + 1, .
Il faut donc exprimer A et B sous la forme 2q + 1
Explications étape par étape
Pour A :
Cas où n est pair :
A = (2q)²+ 13(2q) + 17
= 4q² + 26q + (2x8) + 1
A = 2(2q²+13q + 8) + 1
Cas où n est impair :
A = (2q + 1)² + 13 (2q+1) + 17
= 4q² + 4q + 1 + 26q + 13 + 17
= 4q² + 30q + 20 + 1
A = 2 (2q²+ 15q + 10) + 1
A s'écrit sous la forme 2q + 1 pour tout n appartenant à N, A est donc impair.
Pour B :
Cas où n est pair :
B = [tex](2q)^{3}[/tex] - 2q + 1
= [tex]8[/tex][tex]q^{3}[/tex] - 2q + 1
B = 2([tex]4[/tex][tex]q^{3}[/tex] - q) + 1
Cas où n est impair :
B = [tex](2q + 1)^{3}[/tex] - (2q + 1) + 1
= (2q + 1)(4q²+4q+1) - 2q
= [tex]8[/tex][tex]q^{3}[/tex] + 8q² + 2q + 4q² + 4q + 1 - 2q
= [tex]8[/tex][tex]q^{3}[/tex] + 12 q² + 4q + 1
B = 2([tex]4[/tex][tex]q^{3}[/tex] + 6q² + 2q) + 1
B s'écrit sous la forme 2q + 1 pour tout n appartenant à N, B est donc impair.
