Réponse :
h(x) = 2 x² - 4 x - 6
1) quelle est la nature de la fonction h
c'est une fonction de la forme h(x) = a x² + b x + c polynôme du second degré
2) a) vérifier que pour tout x, h(x) = 2(x-1)² - 8
α = - b/2a = 4/4 = 1
β = h(α) = h(1) = 2 - 4 - 6 = - 8
a = 2
h(x) = a(x -α)² + β ⇒ h (x) = 2(x -1)² - 8
cette forme s'appelle : la forme canonique de la fonction h
b) en déduire le tableau de variation de h
x - ∞ 1 + ∞
h(x) + ∞ →→→→→→→→→ 8→→→→→→→→→→ + ∞
décroissante croissante
3) a) vérifier que pour tout x, h(x) = 2(x-3)(x + 1) comment s'appelle cette forme
h(x) = 2(x - 1)² - 8 ⇔ h(x) = 2((x- 1)² - 4) ⇔ h(x) = 2((x-1)² - 2²) identité remarquable a²-b² = (a-b)(a+b)
h(x) = 2(x- 1 - 2)(x-1+2) = 2(x-3)(x+1)
b) en déduire le signe de la fonction h en résolvant h(x) ≥ 0
h (x) = 2(x-3)(x+1) ≥ 0
Tableau de signe
x - ∞ - 1 3 + ∞
x- 3 - - 0 +
x+1 - 0 + +
h(x) + 0 - 0 +
S =]- ∞ ; -1] ou [3 ; + ∞[ ⇒ h(x) ≥ 0
4) représenter la fonction h dans un repère orthonormé
la fonction h est une parabole tournée vers le haut
de sommet S(1 ; - 8)
coupe l'axe des abscisses en x = - 1 et x = 3
coupe l'axe des ordonnées en y = - 6
vous pouvez tracer aisément la courbe de h
5) g(x) = h(x) + 9
a) déterminer la forme canonique de g(x)
g(x) = h(x) + 9 = 2(x-1)² - 8 +9 = 2(x-1)² + 1
b) justifier que la courbe représentative de g ne coupe pas l'axe des abscisses
g(x) = 2(x-1)² + 1 = 0 ⇒ (x- 1)² = - 1/2 un carré n'est jamais négatif
donc la courbe de g ne coupe pas l'axe des abscisses
Explications étape par étape
