1)
a) On relie la droite OC à la fonction f(x) tel que :
f(0) = 0 (c'est les coordonnées du point 0),
f(x) est une fonction linéaire donc f(x) = ax
f([2√5]/5) = (4√5)/5 (c'est les coordonnées du point C)
f([2√5]/5) = [(2√5)/5]a = (4√5)/5 ⇔ a = [(4√5)/5] / [(2√5)/5]
a = 2
Pour que C' appartient à la droite il faut que :
f(XC') = YC'
f([2√5]/5) = 2 x [2√5]/5 = (4√5)/5
C' appartient à la droite OC.
b) Soit le vecteur OC'
[tex]\left[\begin{array}{ccc}XC'-XO\\YC' -YO\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} \frac{2\sqrt{5} }{5} - 0 \\\frac{4\sqrt{5} }{5} -0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} \frac{2\sqrt{5} }{5} \\\frac{4\sqrt{5} }{5} \end{array}\right][/tex]
Sa longueur vaut [tex]\sqrt{(XC')^{2}+(YC')^{2}} = \sqrt{(\frac{2\sqrt{5} }{5})^{2} + (\frac{4\sqrt{5} }{5})^{2}} = 2[/tex]
c) Le vecteur OB
[tex]\left[\begin{array}{ccc}XB-XO\\YB -YO\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 2 - 0 \\0 -0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 2} \\0 \end{array}\right][/tex]
La longueur OB vaut [tex]\sqrt{(XOB)^{2}+(YOB)^{2}} = \sqrt{(2)^{2} + (0)^{2}} = 2[/tex]
OB est de même longueur que OC’. Les deux longueurs partent de O, donc ils sont tout deux des rayons du demie-cercles W
2)
a)
ABCD est un carré et on a A(-2 ; 0) et B(2 , 0)
Le coté AB fait 4 d’abscisse.
On conclue que D (-2; 4) et C (2; 4)
L'homothétie fait que C ⇒ C' donc 2 ⇒ 2√5/5 ⇔ 2*√5/5
et 4 ⇒ 4√5/5 ⇔ 4*√5/5
Le rapport de l'homothétie h est de √5/5
b)
On applique le rapport au coordonné de D ;
D (-2; 4) ⇒ D' (-2√5/5 ; 4√5/5)
Si D' appartient au cercle C alors D'O a la même longueur que AO
Le vecteur AO(2,0) a pour longueur [tex]\sqrt{2^{2}+0^{2}}[/tex] soit 2
Le vecteur D'O(2√5/5 ; -4√5/5) a pour longueur [tex]\sqrt{(2\sqrt{5}/5)^{2}+ (-4\sqrt{5}/5)^{2}}[/tex] soit aussi 2.
Donc D'O appartient a C demie-cercle.
c)
A (-2 ; 0) ⇒ A' (-2√5/5 ; 0)
B (2 ; 0) ⇒ B' (2√5/5 ; 0)
d)
Calcule des diagonales A'C' et D'B' :
Formule vecteur AB ( XB -XA ; YB -YA)
Vecteur A'C' (2√5/5 - [-2√5/5] ; 4√5/5 - 0)
De même pour D'B' : ...
A'C' = D'B' = [tex]\sqrt{(4\sqrt{5}/5)^{2}+(4\sqrt{5}/5)^{2}} = \frac{4\sqrt{10} }{5}[/tex]
A'C' et D'B' ont la même longueur donc A'B'C'D est un rectangle.
On calcule le milieu de A'C' et de D'B' :
Xk = [tex]\frac{XA' + XC'}{2} = \frac{XD' + XB'}{2} = 0[/tex]
Yk = [tex]\frac{YA' + YC'}{2} = \frac{YD' + YB'}{2} = 2\sqrt{5}/5[/tex]
A'C' et D'B' ont la même longueur et se coupent en leur milieu donc A'B'C'D' est un carré.
