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résolu

Bonsoir, le raisonnement suivant est-il correct s'il vous plaît ? (surtout pour l'affirmation suivie d'un astérisque*, la somme d'un irrationnel et d'un rationnel donne-t-elle un nombre irrationnel ?)


On veut montrer que [tex]d = \frac{3 + \sqrt{5} }{6}[/tex] est irrationnel.

Avec un raisonnement par l'absurde, on suppose que d est rationnel, et peut donc s'écrire sous la forme [tex]d = \frac{a}{b}[/tex] avec a∈Z et b∈N (b≠0).

On a alors b = 6 et a = 3 + [tex]\sqrt{5}[/tex].

6∈N, donc b vérifie bien la condition initiale

5 est un entier naturel supérieur à deux, et 2² < 5< 3², donc 5 n'est pas un carré parfait, donc [tex] \sqrt{5} [/tex] est irrationnel, donc 3 + [tex]\sqrt{5} [/tex] est irrationnel.*

Donc a∉Z, il y a contradiction, donc d ne peut être rationnel, d est alors irrationnel.

Répondre :

Réponse :

raisonnement par l'absurde

soit  d = (3+√5)/6 = 1/6(18/6 + √5)

on considère d' = 18/6 + √5

soit  a/b = 18/6  est un nombre rationnel (a , b entiers , b ≠ 0)

        c = √5  est un nombre irrationnel

posons  d = a/b  + c

et supposons que d est un nombre rationnel , il existe deux entiers p et q tels que  d = p/q (q ≠ 0)

⇔  p/q = a/b + c ⇒ c = p/q - a/b = (pb - aq)/qb   or qb est un entier et

(pb - aq) est aussi un entier ⇒  (pb - aq)/qb est rationnel

or il y a une contradiction  car c est irrationnel

Donc la somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel donne toujours un un nombre irrationnel

en multipliant le nombre irrationnel  par un nombre rationnel donne toujours un nombre irrationnel

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