Réponse :
f est définie sur R \ {1} par : f(x) = (a x² + b x - 5)/(x+c)
où a, b, c sont trois constantes réelles
puisque f est définie sur R \ {1} ⇒ c = - 1
PARTIE A
1) f est dérivable sur R \ {1} Montrer que, pour tout x ∈ R \ {1}
f '(x) = (a x² - 2 a x - b + 5)/(x-1)²
u = a x² + b x - 5 ⇒ u' = 2a x + b
v = x - 1 ⇒ v ' = 1
(u/v) ' = (u ' v - v ' u)/v² = [(2 a x + b)(x - 1) - (a x² + b x - 5)]/(x-1)²
= (2 a x² - 2 ax + b x - b - a x² - b x + 5)/(x-1)²
⇒ f ' (x) = (a x² - 2 a x - b + 5)/(x-1)²
2) déterminer les constantes réelles a , b et c
* f(x) = 5 = (a x² + b x - 5)/(x + c) ⇔ 5(x - c)/(x+c) = (a x² + b x - 5)/(x + c)
⇔ (a x² + b x - 5)/(x + c) - 5(x-c)/(x +c) = 0 ⇔ (a x² + b x - 5) - 5(x + c) = 0
⇔ a x² + (b - 5) x - 5(c + 1) = 0
* la courbe de C passe par le point de coordonnées (- 1 ; 3)
f(x) = (a x² + b x - 5)/(x+c)
(- 1 ; 3) ∈ C ⇔ 3 = (a - b - 5)/(-1+c) ⇔ 3(- 1 + c)/(-1+c) = (a-b-5)/(-1+c)
⇔ (a - b - 5) - 3(- 1 + c) = 0 ⇔ a - b - 5 + 3 - 3 c = 0
⇔ a - b - 3 c - 2 = 0
* le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d'abscisse - 1 est 3/2
f '(- 1) = 3/2
⇔ f '(-1) = (a + 2 a - b + 5)/4 = 3/2 ⇔ 3 a - b + 5 = 6 ⇔ 3 a - b = 1
on sait que c = - 1
a - b + 3 - 2 = 0 ⇒ a - b = - 1 ⇒ a = b - 1 ⇒ a = 2 - 1 = 1
3 a - b = 1 ⇔ 3 (b-1) - b = 1 ⇔ 2 b = 4 ⇒ b = 4/2 = 2
Donc a = 1 ; b = 2 et c = - 1
Explications étape par étape