On veut démontrer que P et pair si et seulement si son carré est pair .
1) partie directe
hypothèse : p est pair
il peut s'écrire p = 2k k étant un naturel
on a alors p² = (2k)² = 4 k² = 2 (2k²)
conclusion : p² est pair
2) réciproque
hypothèse : p² est pair
on veut aboutir à la conclusion : p est pair
raisonnement "dit par l'absurde"
p ne peut être que pair ou impair
supposons que p soit impair
il s'écrit p = 2k + 1 et son carré p² = (2k + 1)²
p² = 4k² + 4k + 1
p² = 2(2k² + 2k) + 1
p² = nombre pair + 1 = nombre impair
on vient de montrer que si p est impair alors p² est impair. Ceci est en contradiction avec l'hypothèse "p² pair"
p n'est donc pas impair
la seule autre solution possible est "p est pair"
Conclusion : p est pair
on a démontré
p pair => p² pair
p² pair => p pair
d'où
p pair <=> p² pair
