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Réponse : Bonsoir,
Tout d'abord, il faut calculer les premiers termes de la suite, pour pouvoir conjecturer le sens de variation de la suite.
[tex]u_{1}=\frac{4u_{0}-1}{u_{0}+2}=\frac{4 \times 5-1}{5+2}=\frac{19}{7}\\u_{2}=\frac{4u_{1}-1}{u_{1}+2}=\frac{4 \times \frac{19}{7}-1}{\frac{19}{7}+2}=\frac{\frac{76-7}{7}}{\frac{19+14}{7}}=\frac{69}{7} \times \frac{7}{33}=\frac{23}{11}[/tex].
Au vu des premiers termes de la suite, on peut conjecturer que la suite est décroissante.
Ensuite, on procède par récurrence, démontrons que la suite [tex](u_{n})[/tex] est décroissante pour tout entier naturel n, c'est à dire que [tex]u_{n} \geq u_{n+1}[/tex].
Initialisation: Au rang n=0, [tex]u_{0} \geq u_{1}[/tex], la propriété est vérifiée au rang n=0.
Hérédité: On suppose la propriété vraie à l'ordre n, c'est à dire que [tex]u_{n} \geq u_{n+1}[/tex], et montrons la propriété à l'ordre n+1, c'est à dire que [tex]u_{n+1} \geq u_{n+2}[/tex].
Étudions les variations de la fonction [tex]f(x)=\frac{4x-1}{x+2}[/tex] sur [tex]\mathbb{R}-\{-2\}[/tex].
On calcule la fonction dérivée f'(x):
[tex]f'(x)=\frac{4(x+2)-1(4x-1)}{(x+2)^{2}}=\frac{4x+8-4x+1}{(x+2)^{2}}=\frac{9}{(x+2)^{2}}[/tex].
Pour tout [tex]x \in \mathbb{R}-\{-2\}, f'(x) \geq 0[/tex], donc la fonction f est croissante sur son domaine de définition.
D'après l'hypothèse de récurrence:
[tex]u_{n} \geq u_{n+1}\\f(u_{n}) \geq f(u_{n+1}) \quad car \; f \; est \; croissante\\u_{n+1} \geq u_{n+2}[/tex].
La propriété est donc vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout n entier naturel, [tex]u_{n} \geq u_{n+1}[/tex], donc la suite [tex](u_{n})[/tex] est décroissante.
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