Réponse : Bonjour,
a) D'après l'algorithme, [tex]u_{0}=1[/tex].
b) Pour tout entier naturel n, [tex]u_{n+1}=\sqrt{3u_{n}+1}[/tex].
c) Je calcule à la main, mais vous pouvez programmer l'algorithme.
[tex]u_{0}=1\\u_{1}=\sqrt{3u_{0}+1}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2\\u_{2}=\sqrt{3u_{1}+1}=\sqrt{3 \times 2+1}=\sqrt{7}\\u_{3}=\sqrt{3u_{2}+1}=\sqrt{3\sqrt{7}+1} \approx 2,99\\u_{4}=\sqrt{3u_{3}+1}=\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{7}+1}+1} \approx 3,16[/tex].
d) On peut conjecturer que la suite [tex](u_{n})[/tex] est croissante.
e) Démontrons par récurrence que la suite [tex](u_{n})[/tex] est croissante, c'est à dire que pour tout entier naturel n, [tex]u_{n} \leq u_{n+1}[/tex].
Initialisation: Pour n=0, [tex]u_{0} \leq u_{1}[/tex], donc la propriété est vérifiée à l'ordre n=0.
Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, c'est à dire que [tex]u_{n} \leq u_{n+1}[/tex], et montrons là à l'ordre n+1, donc que [tex]u_{n+1} \leq u_{n+2}[/tex].
[tex]u_{n+1}=\sqrt{3u_{n}+1}[/tex], donc [tex]u_{n+1}=f(u_{n})[/tex], avec [tex]f(x)=\sqrt{3x+1}[/tex].
Étudions les variations de la fonction f.
Pour cela, on calcule la fonction dérivée f':
[tex]f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}[/tex].
[tex]f'(x) \geq 0[/tex], sur son domaine de définition, donc on a le tableau suivant:
x [tex]-\frac{1}{3}[/tex] +∞
f'(x) ║ +
f(x) Ф (croissante)
La fonction f est définie sur l'intervalle [tex][-\frac{1}{3};+\infty[[/tex], car la fonction racine carrée est définie sur [0;+∞[.
D'après l'hypothèse de récurrence:
[tex]u_{n} \leq u_{n+1}\\f(u_{n}) \leq f(u_{n+1}) \quad car \; f \; est \; croissante\\u_{n+1} \leq u_{n+2}[/tex].
La propriété est vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout entier naturel n, [tex]u_{n} \leq u_{n+1}[/tex], donc la suite [tex](u_{n})[/tex] est croissante.
