Bonjour,
Ex 3) e(1,1,1) f(1,2,3) et gₐ(a,a³,a⁵)
Pour la famille (e,f,gₐ) soit libre, il faut que pour toute combinaisons linéaire :
Si me + pf + qgₐ = 0, alors (m,p,q) = (0,0,0)
Soit :
m + p + aq = 0 (1)
m + 2p + a³q = 0 (2)
m + 3p + a⁵q = 0 (3)
(2) - (1) ⇒ p + (a³ - a)q = 0 ⇔ p + a(a - 1)(a + 1)q = 0 (4)
(3) - (2) ⇒ p + (a⁵ - a³)q = 0 ⇔ p + a³(a - 1)(a + 1)q = 0 (5)
(5) - (4) ⇒ (a³ - a)(a - 1)(a + 1)q = 0 ⇔ a(a - 1)²(a + 1)²q = 0
⇒ a = 0 ou a = 1 ou a = -1 ou q = 0
Or :
. Si a = 0, gₐ = (0,0,0) impossible pour une base de R³
. Si a = 1 ou -1, gₐ = (1,1,1) = e ou gₐ = (-1,-1,-1) = -e, donc (e,f,gₐ) non libre
⇒ q = 0
Alors : (4) ⇒ p = 0 et (1) ⇒ m = 0
Donc (e,f,gₐ) est une famille libre pour tout a ∈ R - {-1,0,1}
. Pour que la famille soit génératrice :
Soit v(x,y,z) un vecteur quelconque de R³. Il faut déterminer (m,p,q) tel que :
v = me + pf + qgₐ
Soit :
m + p + aq = x (1)
m + 2p + a³q = y (2)
m + 3p + a⁵q = z (3)
(2) - (1) ⇒ p + (a³ - a)q = y - x ⇔ p + a(a - 1)(a + 1)q = y - x (4)
(3) - (2) ⇒ p + (a⁵ - a³)q = z - y ⇔ p + a³(a - 1)(a + 1)q = z - y (5)
(5) - (4) ⇒ (a³ - a)(a - 1)(a + 1)q = z - 2y + x ⇔ a(a - 1)²(a + 1)²q = z - 2y + x
⇒ q = (z - 2y + x)/a(a - 1)²(a + 1)²
En remontant le système on peut de même exprimer de façon unique p puis m.
Donc (e,f,gₐ) est génératrice.
libre et génératrice ⇒ (e,f,gₐ) base de R³ pour tout a ∈ R - {-1,0,1}
Ex 4
1) Pour tout couple de fonctions appartenant à E :
f(x) = ax² + bx + c et g(x) = a'x² + b'x + c'
et pour tout couple (m,p) ∈ R²,
mf(x) + pg(x) = (ma + pa')x² + (mb + pb')x + (mc + pc')
Or : ((ma + pa'), (mb + pb'), (mc + pc')) ∈ R³
⇒ mf + pg ∈ E
⇒ E stable par combinaisons linéaires à coef. réels.
2) Pour toute fonction F(x) = mx² + px + q ∈ E :
F(x) = mf(x) + pg(x) + qh(x) avec f(x) = x², g(x) = x et h(x) = 1
⇒ (x²,x,1) est une famille génératrice de E
et (x²,x,1) libre : Si ax² + bx + c = 0 pour tout x, alors a = b = c = 0
⇒ (x²,x,1) est une base de E et E est de dimension 3
3) évident...
4) f₀(x) = x² - 1
f₁(x) = x² + x
f₂(x) = x² - x
(af₀ + bf₁ + cf₂)(x) = (a + b + c)x² + (b - c)x - a
f₃ combinaison linéaire de (f₀,f₁,f₂) ⇒
a + b + c = 0 ⇒ -1 + 2b = 0
b - c = 0 ⇒ b = c
- a = 1 ⇒ a = -1
⇒ (a, b, c) = (-1, 1/2, 1/2)
⇒ f₃ = -f₀ + 1/2f₁ + 1/2f₂
5) et 6) Même méthode : existe-t-il (a,b,c) ∈ R³ / Oe et f ∈ E
