Réponse : Bonsoir,
1) [tex]\frac{V_{n+1}}{V_{n}}=\frac{2^{n+1}}{n+2} \times \frac{n+1}{2^{n}}=\frac{2(n+1)}{n+2}=\frac{2n+2}{n+2} \geq 1 \quad car \; 2n+2 \geq n+2[/tex].
On en déduit que pour tout n entier naturel, [tex]\frac{V_{n+1}}{V_{n}} \geq 1[/tex], la suite [tex](V_{n})[/tex] est donc croissante.
2) [tex]W_{n+1}-W_{n}=(n+2)(n-1)-(n+1)(n-2)\\W_{n+1}-W_{n}=n^{2}-n+2n-2-(n^{2}-2n+n-2)\\W_{n+1}-W_{n}=n^{2}-n+2n-2-n^{2}+2n-n+2\\W_{n+1}-W_{n}=n+n=2n \geq 0[/tex].
[tex]W_{n+1}-W_{n} \geq 0[/tex], donc la suite [tex](W_{n})[/tex] est croissante.
Réponse :
Vo=1 et V1=1 donc entre 0 et 1 Vn n'est pas croissante
W0=-2 et W1=-2 même remarque que pour Vn.
Explications étape par étape
commençons par la plus simple Wn=(n+1)(n-2) c'est une suite explicite dnc une fonction de n
sa dérivée W'n=(n-2+n+1) =2n-1 cette dérivée est >0 à partir du rang 1
pour n=0 et n=1 Wn est constante, puis croissante
Vn =2^n/(n+1) suite explicite fonction de n
V'n=[ln2*2^n(n+1)-2^n]/(n+1)²=(2^n)[ln2*(n+1)-1]/(n+1)² cette dérivée est> 0 à partir du rang 1 .
conclusion Vn est constante puis croissante à partir du rang 1