1°)
Pour déterminer f(0),on sait que la courbe passe par A(0 ; 7), donc f(0) = 7
(Comme f est une fonction, à chaque abscisse, correspond au plus une seule ordonnée, donc pas d'autre solution possible.)
Pour déterminer f '(0) : f '(0) est le coefficient directeur de la tangente T à la courbe C au point A(0 ; 7). On sait que cette droite passe aussi par le point B(-2 ; 1).
A partir de ces 2 points A et B,on peut donc déterminer le coefficient directeur m de la droite donnée par la formule :
[tex]m = \frac{ y_{B}- y_{A} }{ x_{B}- x_{A} } [/tex]
Donc, ici :
[tex]m = \frac{ 1- 7 }{ -2-0} } = \frac{-6}{-2}=3 [/tex]
Donc f '(0) = 3
(Comme la tangente passe par le point A (0 ; 7), on peut même déterminer facilement l'équation réduite de cette tangente y = 3x + 7)
Pour déterminer f '(3), on sait que la courbe admet une tangente horizontale au point d'abscisse 3. Le coefficient directeur de cette tangente est donc 0. (Son équation est y = f(3) )
Donc f' (3) = 0
2°)
Nous savons que f(0) = 7.
Or [tex]f(0)=(a*0+b) e^{0} +c = (0+b)*1+c=b+c[/tex]
Donc b+c = 7
Nous savons que f '(3) = 0
Il faut alors utiliser la formule donnant la dérivée d'un produit de fonction :
(uv)' = u'v + v'u
En effet la dérivée f '(x) de f(x) est celle du produit de (ax +b) par [tex]e^{x} [/tex]
(Il reste bien la constante "c" qui est additionnée mais la dérivée d'une constante est nulle.)
Pour correspondre à la formule (uv)' = u'v + v'u, ici :
"u" est la fonction ax+b
"v" est la fonction [tex]e^{x} [/tex]
et (uv) ' correspond à f '
La dérivée de ax+b est "a".
(Cela correspond à u' dans la formule (uv)' = u'v + v'u )
La dérivée de [tex]e^{x} [/tex] est elle-même, c'est-à-dire tex]e^{x} [/tex].
(Cela correspond à v' dans la formule (uv)' = u'v + v'u )
Donc la formule (uv)' = u'v + v'u donne ici :
[tex]f' (x) = a* e^{x} + e^{x}(ax+b)[/tex]
Donc, lorsque x=3 :
[tex]f' (3) = a* e^{3} + e^{3}(3a+b)[/tex]
On peut donc mettre [tex]e^{3}[/tex] en facteur :
[tex]f' (3) = e^{3}(a+3a+b)[/tex]
[tex]f' (3) = e^{3}(4a+b)[/tex]
Or, nous savons que [tex]f' (3) =0[/tex] (résultat de la question 1)
Donc [tex]e^{3}(4a+b) = 0[/tex] ⇔ [tex]4a+b =0[/tex]
Nous venons de démontrer ci-dessus que la dérivée de f est f ' telle que
[tex]f' (x) = a* e^{x} + e^{x}(ax+b)[/tex]
(en utilisant (uv)' = u'v + v'u )
Donc [tex]f' (0) = a* e^{0} + e^{0}(0*a+b) = a*1+1(0+b)=a+b[/tex]
Or nous savons, d'après la réponse à la question 1, que [tex]f'(0) = 3[/tex]
Donc a+b = 3
3°)
Nous avons donc maintenant un système de 3 équations du premier degrés avec 3 inconnus.
4a + b = 0 (équation 1)
a + b = 3 (équation 2)
b+c = 7 (équation 3)
Je peux soustraire les équations 1 et 2. Cela donne
(4a + b) - (a+b) =0-3 ⇔ 3a = -3 ⇔ a = -1
Donc, en substituant "a" par (-1) dans l'équation 2, on obtient :
-1 + b = 3 ⇔ b = 4
En substituant maintenant b par 4 dans l'équation 3, on obtient :
4 + c = 7 ⇔ c = 3
L'expression de f(x) est donc : [tex]f(x) = (-x+4) e^{x} +3[/tex]
