Réponse : Bonjour,
1) Le périmètre du rectangle est 12, donc:
[tex]2(L+l)=12 \Leftrightarrow 2l=12-2L \Leftrightarrow l=\frac{12-2L}{2}=6-L[/tex].
L'aire du rectangle est:
[tex]L \times l=L \times (6-L)[/tex].
2) On étudie les variations de f sur l'intervalle [0;6].
Pour cela, on calcule la dérivée f':
[tex]f'(x)=1(6-x)-1(x)=6-x-x=6-2x[/tex].
On étudie le signe de f':
[tex]6-2x \geq 0\\2x \leq 6\\x \leq 3[/tex].
Donc [tex]f'(x) \geq 0[/tex], sur l'intervalle [0;3], et [tex]f'(x) \leq 0[/tex], sur l'intervalle [3;6].
On obtient le tableau suivant:
x 0 3 6
f'(x) + Ф -
f(x) (croissant) 9 (décroissant)
Le maximum de f est atteint en x=3, et vaut f(3)=9.
3) L'aire du rectangle est maximal pour une longueur de L=3, et sa largeur vaut dans ce cas [tex]l=6-L=6-3=3[/tex]. Le rectangle est donc un carré.
