👤
résolu

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour mon DM au plus vite. Merci d'avance à ceux qui m'aideront.
Objectif: Montrer que le réel √2 n'appartient pas à l'ensemble des rationnels, c'est à dire qu'on ne peut pas l'écrire sous la forme a/b avec a et b entiers. On dit alors que √2 est irrationnel.

Résultat préliminaire:

Il s'agit de montrer que si le carré d'un nombre est pair, alors ce nombre est forcément pair.
1. Soit n un entier relatif. Développer (2n + 1)².
2. Considérons p un nombre impair. On peut l'écrire sous la forme p= 2n+1 avec n un entier relatif. Montrer que p² est un nombre impair.
3. Soit q un nombre dont le carré est pair. Pourquoi q ne peut-il pas être impair ?
4. Conclure.

Coeur du problème:

On raisonne par l'absurde, en supposant que √2 est un nombre rationnel. On va montrer que cela aboutit à une contradiction.
1. On suppose que √2 est rationnel. Expliquer pourquoi on peut écrire √2 = a/b, avec a et b premiers entre eux (c'est à dire que a et b n'ont aucun diviseur commun).
2. Montrer qu'on a l'égalité a² = 2b².
3. En déduire que a² est pair, puis que a est pair.
4. Justifier qu'on peut écrire a= 2k avec k entier.
5. En remplaçant dans l'égalité a² = 2b², montrer que b² est pair.
6. Que peut-on en conclure sur b ? Montrer que ce résultat est en contradiction avec un résultat précedemment obtenu. Conclure.

L'hypothèse selon laquelle √2 est rationnel conduit, selon une suite de raisonnements logiques, à une contradiction. C'est donc que cette hypothèse était fausse. En conclusion, √2 n'est pas un nombre rationnel.

Répondre :

Bonjour ;

1.

(2n + 1)² = (2n)² + 2 x (2n) x 1 + 1² : identité remarquable ;

= 4n² + 4n + 1 .

2.

p² = (2n + 1)² = 4n² + 4n + 1

= 4n(n + 1) + 1 = 2(2n(n + 1)) + 1 .

Puisque n est un nombre entier relatif , donc le nombre 2n(n + 1)

est un nombre entier relatif , donc : p² est un nombre entier naturel

impair .

3.

Supposons que q est un nombre entier relatif impair et q² est un nombre

entier naturel pair , donc il existe k un nombre entier relatif tel que :

q = 2k + 1 ; donc : q² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k(k + 1)) + 1 qui est un

nombre entier naturel impair , ce qui est en contradiction avec notre

hypothèse : q² est un nombre entier naturel pair ; donc si q est un nombre

entier relatif dont la carré est un nombre entier naturel pair , alors q est

un nombre entier relatif pair .

4.

Le carré d'un nombre entier relatif pair est un nombre entier naturel pair ;

et le carré d'un nombre entier relatif impair est un nombre entier naturel

impair : le carré d'un nombre entier relatif garde la parité de celui-ci .

1.

Si √2 est un nombre rationnel , alors il existe u et v deux nombre entiers

naturels non nuls tels que : √2 = u/v .

Soit d le PGCD de u et v , donc il existe a et b deux nombres entiers

naturels premiers entre eux , tels que : u = d a et v = d b ;

donc : √2 = u/v = ( d a)/(d b) = a/b .

2.

√2 =a/b ;

donc : a = √2 b ;

donc : a² = 2 b² .

3.

a² = 2 b² donc : a² est pair , et comme on a déjà montré que le carré d'un nombre entier relatif garde la parité de celui-ci , donc "a" est pair .

4.

"a" est un nombre entier relatif pair ; donc c'est un multiple de 2 ;

donc il existe k un nombre entier relatif tel que : a = 2k .

5.

a² = 2 b² ;

donc : (2k)² = 2 b² ;

donc : 4 k² = 2 b² ;

donc : b² = 2 k² ;

donc : b² est un nombre entier naturel pair .

6.

Comme le carré d'un nombre entier relatif garde la parité de celui-ci ,

donc "b" est pair .

On a "a" et "b" deux nombres entiers relatifs pairs ,

donc ils sont divisibles  tous les deux par 2 ;

donc ils ont pour diviseurs communs 2 ;

donc ils ne sont pas premiers entre eux , ce qui est en contradiction

avec notre hypothèse : a et b sont premiers entre eux ;

donc l'hypothèse initiale qui postule que √2 est un nombre rationnel

est fausse ; donc √2 est un nombre irrationnel .

Merci d'avoir visité notre site Web, qui traite d'environ Mathématiques. Nous espérons que les informations partagées vous ont été utiles. N'hésitez pas à nous contacter pour toute question ou demande d'assistance. À bientôt, et pensez à ajouter ce site à vos favoris !


Viz Asking: D'autres questions