Réponse : Bonsoir,
1) Montrons que pour tout n entier naturel, [tex]\frac{U_{n+1}}{U_{n}} > 1[/tex], alors la suite [tex](U_{n})[/tex] est croissante.
On a:
[tex]\frac{U_{n+1}}{U_{n}} > 1\\\frac{U_{n+1}}{U_{n}}-1 > 0\\\frac{U_{n+1}-U_{n}}{U_{n}} > 0\\U_{n} > 0 \quad donc \; \; U_{n+1}-U_{n} > 0 \; et \; donc \; U_{n} < U_{n+1}[/tex].
On a montré que pour tout n, [tex]U_{n} \leq U_{n+1}[/tex], donc la suite [tex](U_{n})[/tex] est croissante.
2) Montrons que pour tout n entier naturel, [tex]\frac{U_{n+1}}{U_{n}} < 1[/tex], alors la suite [tex](U_{n})[/tex] est décroissante.
On a:
[tex]\frac{U_{n+1}}{U_{n}} < 1\\\frac{U_{n+1}}{U_{n}}-1 < 0\\\frac{U_{n+1}-U_{n}}{U_{n}} < 0\\U_{n} > 0 \; donc \; U_{n+1}-U_{n} < 0 \; et \; donc \; U_{n+1} < U_{n}[/tex].
On a montré que pour tout entier naturel n, [tex]U_{n+1} < U_{n}[/tex], la suite [tex](U_{n})[/tex] est donc décroissante.
