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on pose X = x/y + y/x
On calcule X²
X² = (x/y)² + (y/x)² + 2(x/y)(y/x)
X² = (x/y)² + (y/x)² + 2
(x/y)² + (y/x)² = X² - 2
on a
(1) x/y + y/x = X
(2) x²/y² + y²/x² = X² - 2
on remplace dans l'expression du départ, on obtient
2(X² - 2) - 3X + 6 ≥ 0
2X² - 3X + 2 ≥ 0
on étudie le trinôme 2X² - 3X + 2
Δ = 9 - 4 x 4 = -7
Δ est négatif. Le trinôme n'a pas de racines
Il a toujours le signe de son 1er coefficient 2
2X² - 3X + 2 est positif pour tout X et l'inégalité est toujours vraie
