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résolu

BONJOUR NOUS AVONS BESOIN DE VOTRE AIDE, NOUS SOMMES EN 2ND !!
dans un triangle, une médiane est une droite passant par un sommet et le milieu du coté opposé à ce sommet et le milieu de coté opposé à ce sommet. soit le triangle ABC avec A( 5;4), B( -3;2) et C(7;0). montrer que les trois médianes du triangle ABC sont concourantes en un point point dont on donnera les coordonnées. Ce point est appelé le centre de gravité du triangle ABC.

Répondre :

TRUDELMICHELVIZ

Réponse :

bonsoir

Explications étape par étape

a) calculons les coordonnées des milieux des côtés

G  milieu de AB

x G(5-3)/2  2/2   1

yG (4+2)/2  6/2  3

G( 1;3)

H milieu de AC

xH (5+7)/2   12/2   6

yH ( 4+0)/2  4/2  2

H( 6;2)

I milieu de BC

xI( -3+7)/2   4/2  2

y I ( 2+0)/2 2/2  1

I( 2;1)

les médianes sont portées par des droites passant par le sommet et le mileu du côté oppposé

l'équation d'une droite

y=ax+b

commençons par le plus simple

BH

B(-3;2)  H( 6;2)   ces 2 points ont la même ordonnée

y=2

ils sont donc sur une droite d'équation

d'où équation de BH y=2

AI

A( 5;4)      I(2,1)

y=ax+b

A nous donne 4=5a+b

I nous donne  1= 2a+b

faisons A-B

( 4-1)=(5a+b)-(2a+b)

3=5a+b-2a-b

3= 3a

a=1

y=x+b

reprenons A 4=5a+b   4=5+b   b=4-5 b=-1

d'où équation de AI

y=x-1

CG

C(7,0)   G(1;3)

C nous donne  0=7a+b

G nous donne  3=a+b

faisons C-G

0-3=(7a+b)-(a+b)

-3=7a+b-a-b

-3= 6a

a=-3/6  a=-0.5

y=-0.5x+b

reprenons

C  0=7a+b   0= -0.5(7)+b    0=-3.5+b   b=3.5

d'où

équation CG

y=-0.5x+3.5

ces droites se coupent

commençons par l'intersection de AI et BH

équation AI

y=x-1

équation de BH

y=2

elles donc un point commun d'ordonnée y

d'où

x-1=2   x=3

les droites AI et BH se coupent en M

M( (3;2)

vérifions si ce point M se trouve sur la droite CG

équation de CG

y=0.5x+3.5

si M appartient à CG

ses coordonnées vérifient l'équation de CG

xM=3      y=-0.5(3)+3.5  y= -1.5+3.5   y=2

M appartient bien àCG

les médianes AI, BH etCG se coupent en un point M de coordonnées  (3.;2)

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