propriétés
soit un trinôme ax² + bx + c défini dans R
(1) s'il a deux racines distinctes x₁ et x₂
il admet comme factorisation a(x - x₁)(x - x₂)
(2) s'il a deux racines égales x₁ = x₂
il admet comme factorisation a(x - x₁)²
(3) s'il na pas de racines, on ne peut pas factoriser
exercice
P(x) = ax² + bx + c
1) a vaut 2, les racines sont 1 et 4
d'après la propriété (1) P(x) = 2(x - 1)(x - 4)
P(x) = 2x² -10x + 8
2) a = 1 ; il s'écrit x² + bx + c
pour qu'il n'y ait pas de racines il faut que le discriminant soit négatif
Δ = b² - 4c ; b² - 4c < 0 <=> b²< 4c
il y a une infinité de possibilités
3) c = 3 racines 2 et 6
il admet comme factorisation a(x - 2)(x - 6)
le terme constant est a(-2)(-6) = 12a
on veut qu'il soit égal à 3
12a = 3
a = 1/4
P(x) = 1/4(x - 2)(x - 6)
P(x) = 1/4x² - 2x + 3
4)
une seule racine b = 4
il admet comme factorisation a(x - 2)² =
a(x² - 4x + 4)
b = -4a
on veut que b = 4 soit -4a = 4
a = -1
P'x) = - x² + 4x - 4
