1) la moyenne arithmétique est comprise entre les deux nombres
soit 0 < a < b
si a < b alors si a < b alors
a/2 < b/2 a/2 < b/2
a/2 + b/2 < b/2 + b/2 a/2 + a/2 < a/2 + b/2
( a + b)/2 < b (1) a < (a + b)/2 (2)
on déduit de (1) et (2)
a < (a + b)/2 < b
2) la moyenne géométrique est inférieure à la moyenne arithmétique
Si a > 0 et b > 0 alors
(√a - √b)² > 0
a - 2√a√b + b > 0
a + b > 2√a√b
(a + b)/2 > √a√b
3)
(a + b)(b + c)(c + a) > 8abc
d'après 2)
on a (a + b)/2 > √a√b
(b + c)/2 > √b√c
(c + a)/2 > √c√a tous ces nombres étant positifs
on peut multiplier membre à membre
(a + b)/2 x ( b+ c)/2 x (c + a)/2 > √a√b√b√c√c√a
(a + b)( b+ c (c + a)/8 > abc
(a + b)( b+ c (c + a) < 8abc
