Réponse :
Bonsoir
Explications étape par étape
Partie A :
Je suppose qu'il s'agit de déterminer graphiquement !!
lim f(x)=2
x--->-inf
lim f(x)=2
x--->+inf
La droite y=2 est asymptote à la courbe Cf en -infini et +infini.
Partie B :
La limite d'une fraction rationnelle en -inf et +inf est celle du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
lim f(x)=2x²/x²=2
x-->-inf
lim f(x)=2x²/x²=2
x-->+inf
Partie C :
Tant que ((2n²-3n+3)/(n²-3n+5)) > 2.01
Je l'ai fait avec un tableur et j'ai trouvé n=31 qui donne f(31)=2.0985..
Partie D :
Graphiquement il semble que l'on puisse l'affirmer.
Mais par le calcul , il faut calculer f(0)=3/5 et montrer que :
f(x) ≥ 3/5 soit :
(2x²-3x+3)/(x²-3x+5) ≥ 3/5 soit :
5(2x²-3x+3) ≥ 3(x²-3x+5)
10x²-15x+15 ≥ 3x²-9x+15
7x²-6x ≥ 0--->inéquation (1)
x(7x-6) ≥ 0
Donc les racines de 7x²-6x sont 0 et 6/7.
Et le binôme 7x²-6x est donc ≤ 0 sur [0;6/7]
L'inéquation (1) n'est pas vérifiée et f(x) n'admet pas de minimum en 0.
Regarde le graph joint : le minimum est plutôt atteint pour x proche de 0.5.
