Réponse : Bonsoir,
Montrons que si [tex]\frac{1+Z}{1-Z} \in i\mathbb{R}[/tex], alors [tex]|Z|=1[/tex].
On pose Z=a+ib.
[tex]\frac{1+Z}{1-Z}=\frac{1+a+ib}{1-a-ib}=\frac{(1+a+ib)(1-a+ib)}{(1-a)^{2}-(ib)^{2}}=\frac{1-a+ib+a-a^{2}+abi+ib-aib-b^{2}}{1-2a+a^{2}+b^{2}}\\=\frac{1-a+a-a^{2}-b^{2}+(b+ab+b-ab)i}{a^{2}+b^{2}-2a+1}=\frac{1-a^{2}-b^{2}+2bi}{a^{2}+b^{2}-2a+1}\\\frac{1+Z}{1-Z} \in i\mathbb{R} \Leftrightarrow 1-a^{2}-b^{2}=0 \Leftrightarrow a^{2}+b^{2}=1 \Leftrightarrow \sqrt{a^{2}+b^{2}}=1 \Leftrightarrow |Z|=1[/tex].
