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NANDJUIABLELOBAVIZ
résolu

Salut Je suis en seconde C
Soit ABC un triangle de centre de gravité G, i le milieu de [BC].

1. Démontrons que pour tout point M du plan:
. vecteur MA + vecteur MB+ vecteur MC= 3 MG
.2 vecteur MA - vecteur MB - vecteur MC = 2 vecteur iA.
2) quel est l'ensemble des points M que les vecteurs
Vecteur MA + vecteur MB + vecteur MC et 2 vecteur MA - vecteur MB - vecteur MC Solent colinéaires ?
3) quel est l'ensemble des points M tels que:
|| vecteur MA + vecteur MB+ vecteur MC || = || 2 vecteur MA - vecteur MB - vecteur MC|| ?

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Réponse :

Explications étape par étape

1) MA+MB+MC=MG+GA+MG+GB+MG+GC=3MG+GA+GB+GC

or GA+GB+GC=0 car G est le centre de gravité du triangle ABC

donc MA+MB+MC=3MG

 2MA-MB-MC=2(MI+IA)-(MI+IB)-(MI+IC)=2MI-2MI-(IB+IC)+2IA

or IB+IC=0 car I est le milieu de [BC] donc

2MA-MB-MC=2 IA

Tout ceci est en vecteurs ajoute les flèches.

2)C'est l'ensemble des points tels que 3MG=2IA

soit GM=(2/3) AI

mais (2/3)AI=AG (propriété des médianes d'un triangle). M est le point tel que GM=AG;  M est donc le symétrique de A par rapport à G.

II3MGII=II 2 IA II soit II GMII=(2/3)II AI II

Dans ce cas on parle de longueurs et non de vecteurs

Il existe donc deux points M, le point M symétrique de G par rapport à A et le point A car si M est en A on a MG= (2/3)IA (sans flèche)

Rappel de la propriété concernant le centre de gravité d' un triangle: G est situé au (2/3) de la longueur de la médiane en partant du sommet AG=(2/3)AI ( avec ou sans flèches).

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