On considère deux entiers naturels x et y tels que : x2 – y2 = 5440
PGCD (x ; y) = 8
Il existe deux entiers naturels x’ et y’ premiers entre eux tels que x = 8x’ et y = 8y’.
D’où : 64x’2 – 64y’2 = 5440
Donc : 64(x’2 – y’2 ) = 5440
x’2 – y’2 = 85
(x’ – y’)(x’ + y’) = 85
(x’ – y’) et (x’ + y’) sont des entiers relatifs.
Donc : (x’ – y’) et (x’ + y’) sont des diviseurs de 85.
(x’ + y’) est un entier naturel, puisque x’ et y’ sont des entiers naturels.
Le produit (x’ – y’)(x’ + y’) doit être un entier naturel (soit 85).
Donc, (x’ – y’) est un entier naturel.
D’après la question précédente, (x’ – y’) et (x’ + y’) sont des diviseurs de 85, et positifs.
Les diviseurs positifs de 85 sont 1, 5, 17 et 85.
De plus : x’ – y’ ≤ x’ + y’ puisque y’ entier naturel.
Donc, on a les différents cas suivants :
x’ – y’ = 1 x’ – y’ = 5
x’ + y’ = 85 x’ + y’ = 17
On additionne les deux équations.
2x’ = 86 2x’ = 22
y’ = 85 - x’ y’ = 17 - x’
x’ = 43 x’ = 11
y’ = 42 y’ = 6
x = 8x’ = 344 x = 8x’ = 88
y = 8y’ = 336 y = 8y’ = 48
Réciproquement, les couples (344, 336) et (88, 48) vérifient x2 – y2 = 5440
PGCD (x ; y) = 8
Donc : S = {(344, 336) ; (88, 48)}.
