Réponse:
1)
k x 1 2 3 4
U 5 1 -0,5 -0,75 -0,375
2a) La suite n'est pas décroissante pour tout n. La suite décroît de U₀ à U₃ puis croît à nouveau entre U₃ et U₄.
2b) Soit la propriété P(n) : Uₙ+₁ > Uₙ
initialisation
Uₙ+₁ = 0,5Uₙ+0,5n-1,5
U₃= -0,75 et U₄=-0,375
U₄ > U₃
La propriete est vraie au rang 3
heredite
Supposons la propriete vraie pour un entier naturel n≥ 3. Montrons que Uₙ+₂> Uₙ+₁
D'une part on a :
Uₙ+₁ > Uₙ
0,5×Uₙ+₁ > 0,5×Uₙ (multiplier par 0,5 ne change pas l'ordre)
0,5×Uₙ+₁ + 0,5n -1,5 > 0,5×Uₙ + 0,5n-1,5 (ajouter un meme nombre ne change pas l'ordre)
0,5×Uₙ+₁ + 0,5n -1,5 > Uₙ+₁
d'autre part
Uₙ+₂ =0,5×Uₙ+₁ +0,5(n+1) -1,5
Uₙ+₂ =0,5×Uₙ+₁ +0,5n - 1
Comparons Uₙ+₂ et 0,5×Uₙ+₁ + 0,5n -1,5 et étudiant le signe de leur différence.
Uₙ+₂- (0,5×Uₙ+₁ +0,5n -1,5) =
0,5×Uₙ+₁ +0,5n - 1 - 0,5×Uₙ+₁ -0,5n +1,5 =
0,5
ainsi Uₙ+₂- (0,5×Uₙ+₁ +0,5n -1,5) >0
donc Uₙ+₂> 0,5×Uₙ+₁ +0,5n -1,5
On a Uₙ+₂> 0,5×Uₙ+₁ +0,5n -1,5
et 0,5×Uₙ+₁ + 0,5n -1,5 > Uₙ+₁
donc Uₙ+₂>Uₙ+₁
La propriété est héréditaire.
Conclusion : La propriété est vraie au rang 3 et elle est héréditaire, donc d'apres le principe de récurrence, Uₙ+₁ > Uₙ pour tout entier naturel n superieur ou egal à 3.
2c) Uₙ+₁ > Uₙ donc la suite (Un) est croissante pour n≥3.
2d) Exprimons Vₙ+₁
Vₙ+₁ = 0,1Uₙ+₁ -0,1(n+1) + 0,5
= 0,1(0,5Uₙ + 0,5n-1,5) - 0,1n -0,1 + 0,5
= 0,05Uₙ + 0,05n -0,15 - 0,1n + 0,4
= 0,05Uₙ - 0,05n + 0,25
= 0,5(0,1Uₙ - 0,1n + 0,5)
Vₙ+₁/Vₙ = 0,5(0,1Uₙ - 0,1n + 0,5) / (0,1Uₙ - 0,1n + 0,5)
= 0,5
Donc la suite (Vₙ) est géométrique de raison 0,5 et de terme initiale Vo = 0,1×Uo -0,1×0 +0,5 = 1
La forme explicite de (Vₙ) est
Vₙ = 1×0,5ⁿ pour n≥0
Or Vₙ=0,1Uₙ - 0,1n + 0,5
<=> Vₙ + 0,1n - 0,5 = 0,1Uₙ
<=> 10Vₙ + n - 5 = Uₙ
Ainsi Uₙ = 10×0,5ⁿ + n - 5 pour tout entier naturel n.
lim(0,5ⁿ) = 0 car lim qⁿ = 0 avec -1< q <1
n→+∞ n→+∞
lim 10×0,5ⁿ = 0 par produit
n→+∞
lim( n-5) = +∞
n→+∞
donc par somme des limites
lim(10×0,5ⁿ +n-5) = +∞
n→+∞
lim(Un) = +∞
n→+∞
