Réponse : Bonsoir,
1) Comme vous l'avez marqué, il faut mettre les deux membres de l'équation au carré:
[tex]\sqrt{3}\cos x=\sin x\\(\sqrt{3}\cos x)^{2}=\sin^{2}x\\ 3\cos^{2}x=\sin^{2} x\\3\cos^{2} x=1-\cos^{2}x\\3\cos^{2} x+\cos^{2} x=1\\\cos^{2} x(3+1)=1\\4 \cos^{2} x=1\\\cos^{2} x=\frac{1}{4}[/tex].
Donc si x est solution de (E), alors x est solution de [tex]\cos^{2} x=\frac{1}{4}[/tex].
2) En posant X=[tex]\cos x[/tex], l'équation est équivalente à:
[tex]X^{2}=\frac{1}{4}\\X=-\frac{1}{2} \quad ou \quad X=\frac{1}{2}\\Donc \; \cos x=-\frac{1}{2} \quad ou \quad \cos x=\frac{1}{2}\\\cos x=-\frac{1}{2} \Leftrightarrow x=\frac{2\pi}{3} \quad ou \quad x=\frac{4\pi}{3}\\\cos x=\frac{1}{2} \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{3} \quad ou \quad x=\frac{5\pi}{3}\\S=\{\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3};\frac{4\pi}{3};\frac{5\pi}{3}\}[/tex].
3) La réciproque n'est pas vraie, car en prenant la solution [tex]x=\frac{5\pi}{3}[/tex], on a:
[tex]\sqrt{3}\cos(\frac{5\pi}{3})=\sqrt{3} \times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \sin(\frac{5\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ Donc \; \sqrt{3}\cos(\frac{5\pi}{3}) \ne \sin(\frac{5\pi}{3})[/tex].
4) Dans l'équation (E), pour qu'il y ait une solution, il faut que [tex]\cos x[/tex] et [tex]\sin x[/tex] soient de même signe.
5) Pour [tex]x=\frac{\pi}{3}[/tex] et [tex]x=\frac{4\pi}{3}[/tex], le cosinus et le sinus sont de même signe, donc les solutions de (E) sont [tex]S=\{\frac{\pi}{3};\frac{4\pi}{3}\}[/tex].
