Réponse : Bonsoir,
a) [tex]OM=\sqrt{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}[/tex].
b) On montre d'abord l'implication [tex]\Rightarrow[/tex], c'est à dire que si [tex]M(x;y) \in \mathcal{C}[/tex], alors [tex]x^{2}+y^{2}=1[/tex].
[tex]M(x;y) \in \mathcal{C}[/tex], donc OM=1:
[tex]OM=1\\\sqrt{x^{2}+y^{2}}=1\\(\sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2}=1^{2}\\x^{2}+y^{2}=1[/tex]
On montre maintenant dans l'autre sens, que si [tex]x^{2}+y^{2}=1[/tex], alors [tex]M(x;y) \in \mathcal{C}[/tex].
[tex]x^{2}+y^{2}=1\\(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=1\\OM^{2}=1\\OM=1 \quad ou \quad OM=-1[/tex].
On ne retient que OM=1, car OM est une distance.
Donc OM=1, ce qui signifie que [tex]M \in \mathcal{C}[/tex].
On en déduit enfin l'équation de [tex]\mathcal{C}[/tex].
Tout point [tex]M(x;y) \in \mathcal{C}[/tex], vérifie [tex]x^{2}+y^{2}=1[/tex], donc:
[tex]x^{2}+y^{2}=1\\y^{2}=1-x^{2}\\y=\sqrt{1-x^{2}} \quad ou \quad y=-\sqrt{1-x^{2}}[/tex].
Le demi-cercle que l'on considère est le demi-cercle où toutes les ordonnées y sont positives ou nulles.
On exclut donc la solution [tex]y=-\sqrt{1-x^{2}}[/tex].
L'équation de [tex]\mathcal{C}[/tex] est donc [tex]y=\sqrt{1-x^{2}}[/tex].
