Bonjour ;
Montrons que pour tout n ∈ IN : 0 ≤ v_n .
Initialisation :
On a pour n = 0 , v_0 = 0 ; donc : 0 ≤ v_0 .
Hérédité :
Soit n ∈ IN . Supposons qu'on a : 0 ≤ v_n .
On a donc : 3 ≤ 2v_n + 3 et 4 ≤ v²_n + 4 ;
donc : 0 < 2v_n + 3 et 0 < v²_n + 4 ;
donc : 0 < (2v_n + 3)/(v²_n + 4) ;
donc : 0 < v_(n + 1) .
Conclusion :
Pour tout n ∈ IN : 0 ≤ v_n .
Montrons maintenant que pour tout n ∈ IN , on a : v_n < 1 .
Initialisation :
On a pour n = 0 , v_0 = 0 ; donc : v_0 < 1 .
Hérédité :
Soit n ∈ IN . Supposons qu'on a : v_n < 1 .
On a donc : 0 ≤ v_n < 1 ;
donc : - 1 ≤ v_n - 1 < 0 ;
donc : 0 < (v_n - 1)² ≤ 1 ;
donc : 0 < v²_n - 2v_n + 1 ≤ 1 ;
donc : 2v_n + 3 < v²_n + 4 ≤ 2v_n + 4 ;
donc : 2v_n + 3 < v²_n + 4 ;
donc : (2v_n + 3)/(v²_n + 4) < 1
donc : v_(n + 1) < 1 .
Conclusion :
Pour tout n ∈ IN : v_n < 1 .
Donc on a : pour tout n ∈ IN , 0 ≤ v_n < 1 .
Pour terminer la démonstration , montrons que la suite est croissante .
Soit n ∈ IN .
On a : v(n + 1) - v_n = (2v_n + 3)/(v²_n + 4) - v_n
= (2v_n + 3 -v³_n - 4v_n)/(v²_n + 4)
= (- v³_n - 2v_n + 3)/(v²_n + 4)
= - (v³_n + 2v_n - 3)/(v²_n + 4)
= - (v_n - 1)(v²_n + v_n + 3)/(v²_n + 4) .
Le discriminant de l'expression : v²_n + v_n + 3 est Δ = 1 - 12 = - 11 < 0 ;
donc cette expression ne s'annule et garde pour tout n ∈ IN le même ;
donc elle a le signe de v²_0 + v_0 + 3 = 3 > 0 .
Donc pour tout n ∈ IN , (v²_n + v_n + 3)/(v²_n + 4) > 0 et v_n - 1 < 0 ;
donc pour tout n ∈ IN , - (v_n - 1)(v²_n + v_n + 3)/(v²_n + 4) > 0 ;
donc v(n + 1) - v_n > 0 .
En conclusion , la suite (v_n) est majorée par 1 et strictement
croissante ; donc elle est convergente .
Comme la fonction f continue et définie sur [0 ; 1[ par
f(x) = (2x + 3)/(x² + 4) , et comme pour tout n ∈ IN , 0 ≤ v_n < 1
et v_n est convergente , alors la limite L de cette suite vérifie
l'équation suite : L = f(L) ;
donc : (2L + 3)/(L² + 4) = L ;
donc : 2L + 3 = L³ + 4L ;
donc : L³ + 2L - 3 = 0 ;
donc : (L - 1)(L² + L + 3) = 0 ;
donc : L - 1 = 0 , car on a déjà démontré que L² + L + 3 ne s'annule pas ;
donc : L = 1 .