Bonjour,
Ex 108
f(x) = 1 + xln(x)
M(1 ; f(1)) soit M(1 ; 1)
N(2 ; f(2)) soit N(2 ; 1 + 2ln2)
P(1 ; 0) et Q(2 ; 0)
1)a) f'(x) = ln(x) + x.1/x = ln(x) + 1
Sur [1 ; 2], ln(x) ≥ 0
⇒ ln(x) + 1 ≥ 1
⇒ f'(x) > 0
⇒ f croissante sur [1 ; 2]
f(1) = 1 > 0 et f croissante ⇒ f positive sur [1 ; 2]
b) coefficient directeur de (MN) :
(yN - yM)/(xN - xM) = (1 + 2ln2 - 1)/(2 - 1) = 2ln2
c) E(4/e ; f(4/e))
Equations des tangentes Tₐ à C aux points d'abscisses a ∈ [1 ; 2] :
y = f'(a)(x - a) + f(a)
⇔ y = [ln(a) + 1](x - a) + 1 + aln(a)
⇔ y = xln(a) + x - aln(a) - a + 1 + aln(a)
⇔ y = [ln(a) + 1]x - a + 1
On veut Tₓ // (MN) :
⇒ ln(a) + 1 = 2ln2
⇔ ln(a) = 2ln2 - 1
⇔ ln(a) = ln(2²) - ln(e)
⇔ ln(a) = ln(4/e)
⇒ a = 4/e
⇒ E d'abscisse 4/e est l'unique point de C en lequel la tangente à C est parallèle à (MN).
d) T : y = [ln(4/e) + 1]x - 4/e + 1
⇔ T : y = [ln(2²) - ln(e) + 1]x - 4/e + 1
⇔ T : y = (2ln2)x - 4/e + 1
2) a) g(x) = f(x) - [(2ln2)x - 4/e + 1]
⇒ g'(x) = f'(x) - 2ln2
⇔ g'(x) = ln(x) + 1 - ln(2²)
⇔ g'(x) = 1 + ln(x/4)
b) g'(x) = 0
⇔ ln(x/4) = -1
⇔ x/4 = e⁻¹
⇔ x = 4/e (≈ 1,47 donc appartient bien à [1 ; 2])
x 1 4/e 2
g'(x) - 0 +
g(x) décroiss. croissante
g(4/e) = 0 (car au point E, C et T sont concourantes)
On en déduit : Sur [1 ; 2], g(x) ≥ 0
Soit : f(x) - y ≥ 0
Et donc C au-dessus de T sur [1 ; 2] (à l'exception du point E évidemment)
3) a)
M' et N' appartiennent à T
⇒ yM' = (2ln2)xM' - 4/e + 1 = 2ln2 - 4/e + 1
et yN' = (2ln2)xN' - 4/e + 1 = 4ln2 - 4/e + 1
Aire(MNQP) = (MP + NQ)xPQ/2
= (1 + 1 + ln2)x1/2
= 1 + ln(2)/2 ≈ 1,346 u.a.
Aire(M'N'QP) = (M'P + N'Q)xPQ/2
= [(2ln2 - 4/e + 1) + (4ln2 - 4/e + 1)]x1/2
= 3ln2 - 4/e + 1 ≈ 1,608 u.a.
b) on en déduit : 1,3 < A < 1,6 à 0,1 u.a près
