Réponse : Bonsoir,
1) Hauteur maximale atteinte après le premier rebond: [tex]\frac{7}{9} \times 2=\frac{14}{9} \approx 1,56 \; m[/tex].
Hauteur maximale atteinte après le deuxième rebond: [tex]\frac{7}{9} \times \frac{14}{9}=\frac{98}{81} \approx 1,21 \; m[/tex].
2) On note [tex](u_{n})[/tex], la hauteur maximale atteinte par la balle après le n-ième rebond.
Alors pour tout n entier naturel, [tex]u_{n+1}=\frac{7}{9}u_{n}[/tex], [tex](u_{n})[/tex] est donc une suite géométrique de raison q=[tex]\frac{7}{9}[/tex] et de premier terme [tex]u_{0}=2[/tex].
3) Comme [tex](u_{n})[/tex] est une suite géométrique de raison q=[tex]\frac{7}{9}[/tex] et de premier terme [tex]u_{0}=2[/tex], on a donc pour tout entier naturel n:
[tex]u_{n}=u_{0} \times \left(\frac{7}{9}\right)^{n}=2 \times \left(\frac{7}{9}\right)^{n}[/tex].
La hauteur atteinte par la balle après le 20 ème rebond est:
[tex]u_{20}=2 \times \left(\frac{7}{9}\right)^{20} \approx 0,013 \; m \approx 13 \; mm[/tex].
La hauteur atteinte par la balle après le 20 ème rebond au millimètre est 13 mm.
4) On cherche le plus petit entier naturel n, tel que [tex]u_{n} < 0,001 \; m[/tex].
[tex]u_{n} < 0,001\\2 \times \left(\frac{7}{9}\right)^{n} < 0,001\\\left(\frac{7}{9}\right)^{n} < \frac{0,001}{2}=0,0005=5,0 \times 10^{-4}[/tex].
D'après le tableau, le plus petit entier naturel n qui vérifie cela est n=31.
Donc le nombre de rebonds nécessaires jusqu'à immobilisation de la balle est n=31.
5) La distance totale S, parcourue par la balle jusqu'à immobilisation est:
[tex]S=u_{0}+u_{1}+...+u_{31}\\\displaystyle S=u_{0} \times \frac{1-\left(\frac{7}{9}\right)^{32}}{1-\frac{7}{9}}=2 \times \frac{1-\left(\frac{7}{9}\right)^{32}}{\frac{2}{9}}=9\left(1-\left(\frac{7}{9}\right)^{32}\right) \approx 8,997 \; m \approx 8997 \; mm[/tex].
La distance parcourue par la balle jusqu'à immobilisation au millimètre près est 8997 mm.