Réponse:
Un = f(n) a les memes variations que f(x) sur IR+
1) Un est croissante car f(x) = x² est croissante sur IR+
2)
Un est croissante car f(x)=3x-5 est croissante sur IR
3)
Un est decroissante car f(x) = 1+1/x est decroissante sur IR+*
4)
f(x)=-2/(x+4) est decroissante sur ]-4; +∞[ donc Un =f(n) est decroissante sur IN
5)
f(x)= x/(x+1) f'(x) = -1/(x+1) f'(x) < 0 sur IR+ donc f est decroissante sur IR+. Un = f(n) est decroissante sur IN
6)
Un+1 - Un = 5ⁿ⁺¹/(n+1) - 5ⁿ/n =[ n5ⁿ⁺¹ -(n+1)5ⁿ]/ (n*(n+1))
= [5ⁿ(5n-n-1)]/(n(n+1))
= 5ⁿ×(4n-1)/(n(n+1))
5ⁿ>0
n(n+1) >0
4n-1≥0 pour n ≥¼
donc 5ⁿ×(4n-1)/(n(n+1)) ≥ 0 sur IN*
(Un) est croissante sur IN*
7) f(x) = 2x²-1
f'(x) = 4x
f'(x) ≥ 0 sur IR+ donc f (x) est croissante sur IR+ et Un est croissante sur IN
8)
Un+1 - Un =
3ⁿ⁺¹/(2n+2) - 3ⁿ/(2n) =
[2n×3ⁿ⁺¹ - 3ⁿ×(2n+2)]÷[2n(2n+2)] =
[3ⁿ(3×2n -(2n+2)]÷[2n(2n+2)] =
[3ⁿ(4n-2)]/[2n(2n+2)]
3ⁿ>0
(2n(2n+2)) >0
4n-2 ≥0 pour n ≥ ½
donc [3ⁿ(4n-2)]/[2n(2n+2)] ≥ 0 sur IN*
(Un) est croissante sur IN*
