Réponse :
P(x) = x³ - 11 x² + 31 x - 21
1) justifier qu'il existe un polynôme Q tel que P(x) = (x - 1)Q(x)
comme x = 1 est une solution de P(x) donc on peut mettre P(x) sous la forme factorisée suivante P(x) = (x - 1)(a x²+ b x + c)
donc Q(x) = a x² + b x + c
2) déterminer le polynôme Q
P(x) = (x - 1)(a x² + b x + c)
= a x³ + b x² + c x - a x² - b x - c
= a x³ + (b - a) x² + (c - b) x - c
a = 1
b - a = - 11 ⇒ b = - 11 + a = - 11 + 1 = - 10
c - b = 31 ⇒ c = 31 + b = 31 - 10 = 21
- c = - 21 ⇒ c = 21
Donc Q(x) = x² - 10 x + 21
3) déterminer le tableau de signe de P
P(x) = (x - 1)(x² - 10 x + 21) or x² - 10 x + 21 = (x - 3)(x - 7)
donc P(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 7)
tableau de signe de P
x - ∞ 1 3 7 + ∞
x- 1 - 0 + + +
x - 3 - - 0 + +
x - 7 - - - 0 +
P(x) - 0 + 0 - 0 +
4) en déduire le domaine de définition de f(x) = √P(x)
Df = [1 ; 3]U[7 ; + ∞[
5) déterminer le tableau de signe de R(x) = x² + x - 6
Δ = 1 + 24 = 25 ⇒ √25 = 5
x1 = - 1+5)/2 = 2
x2 = - 1 - 5)/2 = - 3
Tableau de signe de R
x - ∞ - 3 2 + ∞
R(x) + 0 - 0 +
Explications étape par étape