Réponse:
Pour montrer qu'une fonction est derivable, on determine la limite de son taux d'accroissement entre a et a+h
Si la limite est finie, alors f est dérivable et la valeur trouvée est egale à f'(a).
a.
f(1+h) = -3(1+h)+1 = -3h-2
f(1)= -3×1+1 = -2
le taux d'accroissement est
t(h) = [ f(1+h) - f(1) ] / h
t(h) = ( -3h-2 - (-2) )/h
t(h) = -3h/h
t(h) = -3
lim (-3) = -3
h→0
donc f est derivable en 1 et f'(1)=-3
b.
g(2+h) = 3(2+h)²-4
g(2+h) = 3(4+4h+h²)-4
g(2+h) = 3h²+12h+8
g(2)= 3×2²-4 = 8
t(h) = [ g(2+h) - g(2) ]/ h
t(h) = (3h²+12h+8-8)/h
t(h) = (3h²+12h)/h
t(h) = 3h+12
lim(3h+12) = 12
h→0
g est derivable en 2 et g'(2)=12.
c.
h(3+h) = (3+h)²+7(3+h)-3
h(3+h) = 9 + 6h + h² +21 +7h - 3
h(3+h) = h² + 13h +27
h(3) = 3²+7×3-3 = 27
t(h) = [ h(3+h) - h(3) ] / h
t(h)= (h²+13h+27-27)/h
t(h) = h+3
lim(h+13)= 13
h→0
h est derivable en 3 et h'(3) = 13
d.
k(2+h) = √(2+h-2) = √h
k(2)=0
t(h) = [ k(2+h) - k(2) ]/h
t(h) = √h / h
t(h) = √h/ (√h × √h)
t(h) = 1/√h
lim ( 1/√h ) = +∞
h→0
la limite du taux d'accroissement en 2 n'est pas finie donc k n'est pas dérivable en 2.
