Réponse : Bonsoir,
1) Il faut résoudre l'équation:
[tex]x^{2}+2x-1=x+m\\x^{2}+2x-x-1-m=0\\x^{2}+x-1-m=0\\\Delta=1^{2}-4 \times 1 \times (-1-m)=1-4(-1-m)=1+4+4m=5+4m\\\Delta > 0 \Leftrightarrow 5+4m > 0 \Leftrightarrow 4m > -5 \Leftrightarrow m > -\frac{5}{4}\\ \\\Delta=0 \Leftrightarrow 5+4m=0 \Leftrightarrow 4m=-5 \Leftrightarrow m=-\frac{5}{4}\\ \\\Delta < 0 \Leftrightarrow 5+4m < 0 \Leftrightarrow 4m < -5 \Leftrightarrow m < -\frac{5}{4}[/tex]
Donc si [tex]m > -\frac{5}{4}[/tex], il y a deux points d'intersection entre la parabole P et la droite [tex]D_{m}[/tex].
Si [tex]m=-\frac{5}{4}[/tex], il y a un point d'intersection entre la parabole P et la droite [tex]D_{m}[/tex].
Et si [tex]m < -\frac{5}{4}[/tex], il n'y a pas de point d'intersection entre la parabole P et la droite [tex]D_{m}[/tex].
2) [tex]D_{m}[/tex] coupe P en un seul point si [tex]m=-\frac{5}{4}[/tex].
Et l'abscisse x de ce point vérifie:
[tex]x^{2}+2x-1=x-\frac{5}{4}\\ x^{2}+2x-x-1+\frac{5}{4}=0\\ x^{2}+x+\frac{1}{4}=0\\ (x+\frac{1}{2})^{2}=0\\ x+\frac{1}{2}=0\\ x=-\frac{1}{2}[/tex].
L'abscisse du point d'intersection est x=-[tex]\frac{1}{2}[/tex].
L'ordonnée y de ce point est:
[tex]y=-\frac{1}{2}-\frac{5}{4}=-\frac{2}{4}-\frac{5}{4}=-\frac{7}{4}[/tex].
Les coordonnées du point d'intersection sont donc [tex](-\frac{1}{2};-\frac{7}{4})[/tex].