Réponse :
Explications étape par étape
1) Limite d'une fonction composée, il faut commencer par étudier x / (x²+2x). Il s'agit d'une forme indéterminée en 0, on peut diviser par x (car x s'approche de 0 sans l'atteindre), et on aura :
x / (x²+2x) = 1 / (x+2) = 1/2 lorsque x tend vers 0. Par composition de limites, la limite de f lorsque x tend vers 0 faut ln (1/2) = ln(1) - ln(2) = - ln(2).
2) Ici, il faut être astucieux, car ce n'est pas évident. Si on essaye de calculer directement la limite, on tombe sur du 0 * infini en forme indéterminée. Posons t = (x+1)/x = 1 + (1/x) alors xt = x + 1 donc x(t-1) = 1 puis x = 1 / (t-1). Lorsque x tend vers l'infini, t tend vers 1, et finalement on aura :
Lim g(x) lorsque x tend + l'infini = Lim g(t) lorsque t vend vers 1 avec
g(t) = (1 / (t-1)) * ln(t). Mais en analysant bien, on a : [tex]g(t) = \frac{ln(t) - ln(1)}{t-1}[/tex] car ln(1). Cette expression correspond à la limite du taux d'accroissement de la fonction ln en x=1. On sait que la fonction ln est dérivable sur ]0;+infini[ avec ln'(x) = 1/x donc ln'(1) = 1. Par conséquent, on déduit que la limite de g(t) lorsque t vend vers 1 vaut 1.
Conclusion : lim g(x) en + infini = 1.
