Réponse :
Bonsoir,
Explications étape par étape
Une généralisation de la formule
[tex]x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\\est\\a^3+b^3+c^-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)[/tex]
est l'identité de Gauss.
Démontrons la.
[tex]A=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)\\\\\begin{array}{c|cccccccccccc} A&a^3&b^3&c^3&a^2b&a^2c&b^2a&b^2c&c^2a&c^2b&abc\\a*a^2&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\a*b^2&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0\\a*c^2&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\a*(-ab)&0&0&0&-1&0&0&0&0&0&0\\a*(-bc)&0&0&0&0&0&0&0&0&0&-1\\a*(-ac)&0&0&0&0&-1&0&0&0&0&0\\b*a^2&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0\\b*b^2&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\b*c^2&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0\\b*(-ab)&0&0&0&0&0&-1&0&0&0&0\\b*(-ac)&0&0&0&0&0&0&0&0&0&-1\\b*(-bc)&0&0&0&0&0&0&-1&0&0&0\\\end{array}\\[/tex]
[tex]\begin{array}{c|cccccccccccc} c*a^2&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\c*b^2&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\c*c^2&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\c*(-ab)&0&0&0&0&0&0&0&0&0&-1\\c*(-ac)&0&0&0&0&0&0&0&-1&0&0\\c*(-bc)&0&0&0&0&0&0&0&0&-1&0\\A&a^3&b^3&c^3&a^2b&a^2c&b^2a&b^2c&c^2a&c^2b&abc\\&1&1&1&0&0&0&0&0&0&-3\\\end{array}\\[/tex]
[tex](a-b)^2 \geq 0\\a^2+b^2-2ab \geq 0\\\dfrac{a^2+b^2}{2} \geq ab\\\\Ainsi\\\\\dfrac{b^2+c^2}{2} \geq bc\\\dfrac{c^2+a^2}{2} \geq ca\\\\a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc\\\\a^2+b^2+c^2 -ab-ac-bc\geq 0\\\\a+b+c \geq 0\\\\(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc) \geq 0\\\\a^3+b^3+c^3-3abc \geq 0\\\\\\a^3+b^3+c^3 \geq -3abc\\[/tex]
