a)
EG^2=5^2\fbox{=25}
\\ EF^2+FG^2=4^2+3^2=16+9\fbox{=25}
Donc la réciproque du théorème de Pythagore s'applique : si dans un triangle le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle, donc EFG est rectangle en F.
b)
Les points B, E et F sont alignés et on sait que (AB)(BE). Donc (AB)(BF).
On sait que (FG)(EF). Donc (FG)(BF).
Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont entre elles, donc (FG)(AB).
c)
On sait que (FG)(AB) donc le théorème de Thalès s'applique :
\frac{EF}{EB}=\frac{EG}{EA}=\frac{FG}{BA}
\\ \frac{4}{EB}=\frac{5}{7}=\frac{3}{BA}
Calcul de EB (avec le produit en croix) :
\frac{4}{EB}=\frac{5}{7}
\\ EB=\frac{4\times7}{5}
\\ EB=\frac{28}{5}
\\ \fbox{EB=5,6cm}
Calcul de BA (toujours avec le produit en croix) :
\frac{5}{7}=\frac{3}{BA}
\\ BA=\frac{3\times7}{5}
\\ BA=\frac{21}{5}
\\ \fbox{BA=4,2cm}
)
A=\frac{bh}{2}
\\ A=\frac{(\frac{7\sqrt{3}}{5}+5,6)\times4,2}{2}
Là je fais confiance en ma très chère amie calculatrice qui me dit 16,85cm.2
