Réponse :
Explications étape par étape
Partie A
g(x)=1-lnx-x²sur ]0;+oo[
limites
si x tend vers 0+, g(x) tend vers +oo
si x tend vers +oo, g(x) tend vers -oo
Dérivée: g'(x)=-1/x-2x= -(2x²+1)/x , cette dédrvée est tjrs <0 donc la fonction g(x) est décroissante et monotone sur le Df . Compte tenu des valeurs limites et d'après le TVI g(x)=0 admet une et une seule solution qui est x=1 g(1)=0 (solution évidente).
De ceci on déduit que g(x) est >0 sur ]0;1[ et <0 sur ]1;+oo[
Partie B
f(x)=lnx/x-x+2 sur ]0;+oo[
si x tend vers 0+, ln x/x tend vers -oo/0+ donc f(x) tend vers -oo
si x tend vers +oo, lnx/x tend vers 0 (th. des croissances comparées) donc f(x) tend vers -oo
la droite d'équation, y=-x+2 est une asymptote oblique pour f(x) en +oo
le terme lnx/x étant >0 pour x>1 la courbe se trouve au dessus de la droite
Dérivée: f'(x)=[(1/x)*x-lnx]/x²-1=(x²-lnx+1)/x² on retrouve f'(x)=g(x)/x²
le signe de f'(x) est donc celui de g(x)
tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x 0................................1.....................................+oo
f'(x) .............+...................0...............-...................
f(x)-oo.......croi...............f(1)............décroi...........-oo
f(1)=1
Le point où la tangente est // à l'axe des abscisses et celui ou la dérivée est nulle c'est le point A(1;f(1)) soit A(1;1) .
Equation de la tangente au point d'abscisse x=e
formule;y=f'(e)(x-e)+f(e)=[-e²-lne+1)/e²](x-e)+lne/e-e+2
j'ai trouvé:y=-x+2+1/e
Sur l'intervalle ]0; 1] f(x) est continue et monotone (croissante) comme f(1)>0 et que en 0+ f(x) est <0 , d'après le TVI il existe une et seule valeur alpha appartenant à cet intervalle telle que f(alpha)=0
Détermine alpha par encadrement avec ta calculette.
vérifie quand même mes calculs.
