Réponse :
Explications étape par étape
Etude de f(x)=(x³+2x²)/(x²-1)
1) Domaine de définition : f'(x) est une fonction quotient elle n'est donc pas définie pour les valeurs qui annulent le diviseur; soient x=1 et x=-1
Df=R-{-1; +1}
2) Etude des limites : si j'effectue la division euclidienne (x³+2x²) par (x²-1), je trouve un quotient q=x+2 et un reste r=x+2
donc f(x) =x+2+(x+2)(x²-1)
si x tend vers -oo ,(x+2)/(x²-1) tend vers 0 donc f(x) -oo
si x tend vers +oo, (x+2)/(x²-1) tend vers 0 donc f(x) tend vers +oo
on note que la droite y=x+2 est une asymptote oblique.
si x tend vers -1(avec x<-1) , f(x) tend vers 1+1/0+=+oo
si x tend vers-1(avec x>-1), f(x) tend vers 1+1/0-=-oo
si x tend vers 1(avec x<1), f(x) tend vers 3+3/0-=-oo
si x tend vers 1 (avec x>1), f(x) tend vers 3+3/0+=+oo
Dérivée f(x) est de la forme u/v sa dérivée est donc (u'v-v'u)/v²
f'(x)=[(3x²+4x)(x²-1)-2x(x³+2x²)]/(x²-1)² ce qui après développement et réduction donne f'(x)=(x^4-3x²-4x)(x²-1)²=x(x³-3x-4)/(x²-1)²
le signe de cette dérivée dépend uniquement du signe de x*(x³-3x-4)
Ce qui nous conduit à étudier le signe de la fonction intermédiaire g(x)=x³-3x-4
Son Df=R ses limites sont celles de x³ donc
si x tend vers -oo, g(x) tend vers -oo
si x tend vers +oo g(x) tend vers+oo
Dérivée g'(x)=3x²-3=3(x²-1) elle s'annule x=1 et x=-1
Tableau de signes de g'(x) et de variations de g(x)
x -oo -1 1 +oo
g'(x)............+....................0............-...................0...............+.............
g(x)-oo......croi............. -5...........décroi...........-6.............croi......+oo
Vu le tableau de variations de g(x) et d'après le TVI l'équation g(x)=0 admet une et une seule solution "alpha" comprise entre 1 et +oo
cette valeur alpha est comprise entre 2,1 et 2,2 utilise ta calculatrice pour plus de précision.
Avec tout ceci on peut dresser le tableau de signes de f(x) et de variations de f(x)
x oo .................-1................0..................1......................alpha...............+oo
x................-..................-..........0........+.............+.............................+............
g(x)...........-...................-.....................-...............-.................0..........+...............
f'(x)............+.................+..........0.....-..................-................0............+...........
f(x)-oo.....C.....+ooII-oo....C..f(0)...D....-ooII+oo..D........f(alpha).....C......+oo
C=croissante; D= décroissante
f(0)=0 calcule f(alpha)=....
"II" matérialise les valeurs interdites et les asymptotes verticales x=-1 et x=1
Vérifie quand même mes calculs.
