Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1)
Tu mettras les flèches sur les vecteurs.
J'utilise Chasles.
MA.BC+MB.CA+MC.AB
=MA(BA+AC)+(MA+AB).CA+(MA+AC).AB
=MA.BA+MA.AC+MA.CA+AB.CA+MA.AB+AC.AB
Mais :
MA.BA+MA.AB=0 (vecteur nul)
MA.AC+MA.CA=0
AB.CA+AC.AB=0
Donc :
MA.BC+MB.CA+MC.AB=0
2)
Soit H le point d'intersection des hauteurs (AH) et (BH).
H est un point du plan donc d'après la question 1) , on peut écrire :
HA.BC+HB.CA+HC.AB=0--->(2)
Mais (AH) est une hauteur. Donc HA.BC=0
Et (BH) est une hauteur . Donc HB.CA=0
La relation (2) donne donc :
HC.AB=0
qui prouve que (HC) et (AB) sont perpendiculaires.
Les 3 hauteurs de ABC sont donc concourantes en H.
