Répondre :
Réponse : Bonjour,
Il faut résoudre:
[tex]f'(a)=f'(b)\\-f'(a)a+f(a)=-bf'(b)+f(b)\\\\ 2a=-2b+8\\-a \times 2a+a^{2}=-b(-2b+8)-b^{2}+8b-14\\\\ a=-b+4\\-2(-b+4)^{2}+(-b+4)^{2}=2b^{2}-8b-b^{2}+8b-14\\\\ a=-b+4\\-2(b^{2}-8b+16)+b^{2}-8b+16=b^{2}-14\\\\ a=-b+4\\-2b^{2}+16b-32-8b+30=0\\\\ a=-b+4\\-2b^{2}+8b-2=0\\[/tex].
Il faut résoudre cette dernière équation du second degré:
[tex]\Delta=8^{2}-4 \times (-2) \times (-2)=64-16=48\\b_{1}=\frac{-8-\sqrt{48}}{2 \times (-2)}=\frac{-8-4\sqrt{3}}{-4}=2+\sqrt{3}\\b_{2}=\frac{-8+\sqrt{48}}{2 \times (-2)}=\frac{-8+4\sqrt{3}}{-4}=2-\sqrt{3}[/tex].
On associe les deux solutions aux deux solutions en a correspondantes:
[tex]a_{1}=-b_{1}+4=-2-\sqrt{3}+4=2-\sqrt{3}\\a_{2}=-b_{2}+4=-2+\sqrt{3}+4=2+\sqrt{3}\\Equation \; de \; la \; tangente \; commune \; en \; a_{1} \; et \; b_{1}:\\y=f'(a_{1})(x-a_{1})+f(a_{1})=2(2-\sqrt{3})(x-2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})^{2}\\ y=(4-2\sqrt{3})(x-2+\sqrt{3})+4-4\sqrt{3}+3\\ y=4x-8+4\sqrt{3}-2\sqrt{3}x+4\sqrt{3}-6+7-4\sqrt{3}\\ y=(4-2\sqrt{3})x+4\sqrt{3}-7[/tex].
[tex]Equation \; de \; la \; tangente \; commune \; en \; a_{2} \; et \; b_{2}:\\y=f'(a_{2})(x-a_{2})+f(a_{2})\\y=2(2+\sqrt{3})(x-2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})^{2}\\y=(4+2\sqrt{3})(x-2-\sqrt{3})+4+4\sqrt{3}+3\\y=4x-8-4\sqrt{3}+2\sqrt{3}x-4\sqrt{3}-6+7+4\sqrt{3}\\ y=(4+2\sqrt{3})x-4\sqrt{3}-7[/tex].
Donc la première tangente commune à P1 et P2 coupe P1 au point d'abscisse [tex]a_{1}=2-\sqrt{3}[/tex] de P1 et coupe P2 au point d'abscisse [tex]b_{1}=2+\sqrt{3}[/tex] de P2.
Puis la deuxième tangente commune à P1 et P2 coupe P1 au point d'abscisse [tex]a_{2}=2+\sqrt{3}[/tex] de P1 et coupe P2 au point d'abscisse [tex]b_{2}=2-\sqrt{3}[/tex] de P2.
Sur l'image en bleue la première tangente commune à a1 et b1, puis en rouge la deuxième tangente commune à a2 et b2.
Merci d'avoir visité notre site Web, qui traite d'environ Mathématiques. Nous espérons que les informations partagées vous ont été utiles. N'hésitez pas à nous contacter pour toute question ou demande d'assistance. À bientôt, et pensez à ajouter ce site à vos favoris !