Explications étape par étape:
Théorème de Gauss : Si a divise bc et a premier avec b alors a divise c. Ici :
7 divise 5(y-2) et 7 premier avec 5 donc par Gauss, 7 divise y-2. Il existe donc un entier relatif k tel que y-2 = 7k d'où y = 7k+2. De même, dans l'autre sens, 5 divise 7(x-3) et 5 premier avec 7 donc par Gauss, 5 divise x-3 donc il existe k dans Z tel que x-3 = 5k donc x = 5k+3.
Finalement les couples (x,y) solution sont de la forme (x,y) = (5k+3, 7k+2)
2) En effet, si x = 5k+3 alors modulo 5, on a x congru à 3 modulo 5 ou x = 3 [5]. En multipliant par 7, on aura 7x = 21[5] = 1[5]. Ainsi, les entiers naturels x tels que 7x = 1[5] sont :
x = 5k+3 mais avec k entier naturel, et pas relatif cette fois.
